模型| 向量等式c=xa yb中的系数问题破解技法

作者简介：王勇，特级教师，湖北省襄阳市第一中学

纵观近年各省市高考试题及模拟试题，与向量等式c=xa+yb( x，y∈ Ｒ)中的系数有关的问题频频出现，此类问题极富思考性和挑战性，学生求解起来颇感困难．下面结合实例介绍破解此类问题的五种方法，供参考借鉴．

01

基本定理法

例1

点评

本题没有直接利用题中所给的向量AE，AF作为基底，而是另外恰当选取了向量AB，AD作为一组基底来表示向量AC，使得在向量运算化归过程中更直接、更方便．

例2

点评

本题用到向量共线定理，向量的加法法则和减法法则，两次用到平面向量基本定理，“算两次”的思想体现得淋漓尽致，值得品味和借鉴。

02

建系坐标法

例3

点评

由题设条件易知直线DO与直线AB互相垂直，启发我们建立平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，用坐标法解决向量问题思路清晰，操作简单易行．

例4

点评

本题难度较大，综合考查坐标法、运算求解能力及利用导数研究函数的最值问题，体现了“以数解形”的精密性，对学生有一定的挑战性．

03

 

同乘向量法

例5

点评

因为向量的数量积运算能够把向量问题转化为实数问题，所以对向量等式施加数量积运算就成为处理向量等式的一种重要手段．本题中“算两次”思想的考查也相当充分．

例6

点评

注意到OA、OB、OC 三个向量的模及OA与OB的夹角已知，所以利用同乘向量法得到关于x，y的方程组，再根据θ的取值范围，求出x+y的最大值，使问题得以轻松解决．

04

两边平方法

例7

点评

在向量的运算中有一个重要等式:a²=|a|²，它也能实现向量问题实数化，所以，在向量等式的变形中有一个常用手段就是: 两边平方．

例8

点评

本题要求从题设中抓住本质条件，即向量|OA|=|OB|=|OC|=1，通过对向量等式向量OC=λOA+μOB两边平方及向量的运算来挖掘能刻画 λ，μ 的 约束条件，最后借用线性规划思想一剑封喉．本题立意新颖，充分考查学生综合应用知识的能力．

05

综和探究法

例9

点评

本题联合使用平面几何知识、同乘向量法、正弦定理及三角恒等变换等方可顺利求解．本题综合性较强，充当着“小题把关”的重要角色．

例10

点评

本题是一道多选填空题，考查的知识点丰富，对学生的数学能力要求较高．求解此类问题一定要对所给结论逐一精确判断，稍有不慎，满盘皆输．

文章来源：数学三剑客、作者简介：王勇，特级教师，湖北省襄阳市第一中学；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。