14、导数的简单应用

1、函数的单调性与导数的关系

2、函数的极值

3、函数的最值

常用结论

1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值.

2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.

3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.

常用结论

确定函数的单调区间

构造函数比较大小

思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?

解题心得比较几个数的大小,首先要根据这几个数的特点将这几个数转化为一个函数的几个函数值,然后通过求导确定函数的单调性,最后由单调性进行大小的比较.

求函数的极值、最值

思考函数的导数与函数的极值、最值有怎样的关系?

解题心得

1.可导函数y=f(t)在点t处取得极值的充要条件是f'(t)=0,且在t左侧与右侧,f'(x)的符号不同.

2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.

3、利用导数研究函数极值的

求参数范围

解题心得

1.对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在区间M上单调递增,则导函数f'(x)在区间M上大于或等于0;若函数y=f(x)在区间M上单调递减,则导函数f'(x)在区间M上小于或等于0.

2.已知函数不等式恒成立求参数取值范围,首先要考虑分离参数,然后构造函数,利用最值求解.如果不能分离参数,那么通常分类讨论,利用函数的单调性求解.

3.已知极值求参数:若函数f(x)在点t处取得极值,则f'(t)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

4.已知函数零点个数求参数取值范围的方法

(1)直接法:直接根据题设条件,先构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法:将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决;

(3)数形结合法:把原函数分解为两个部分(分解为熟悉的函数类型,一边含参数,一边不含参数,含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调函数,含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响),在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,根据函数图象建立不等式(组),进而得出参数的取值范围.

要点归纳小结

2.求可导函数极值的步骤:

(1)求定义域及f'(x);

(2)求f'(x)=0的根;

(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;

(4)下结论.

3.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,的结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).

易错点警示

1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.

2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.

3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得.

4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f'(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.

在抽象函数中如何构造辅助函数

阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数?

数学抽象的思维过程