数学思维培养的秘笈：请与儿童这样互动

皮亚杰将世界上的知识分为三类：社会性知识、物理性知识、数理逻辑知识。三种知识中，只有数理逻辑知识是无法通过灌输与观察获得的，它是内源性知识，是由内心生成，而无非被传递，这就是在现在这个时代，也是被公认的。Kamii博士进一步说过：“数理逻辑知识就如同道德自律的获得一样，都是他们从与环境互动中，由内心所建构而成的，而不是从外部直接获得的。”

我用简单的语言总结一下：数学思维的获得，需要通过与他人的互动，从交流中，内化而成。

换言之，数学思维不能通过让孩子坐在那儿听你说说就获得。

有家长问，那为什么有些孩子就可以听听课，数学就学得很好呢？我们需要理解数学的本质是有关于关系的学科，是紧紧围绕事物抽象本质，围绕数量关系展开的学科，如果一名孩子善于关联事物的关系，他能够通过提问，犯了错误后订正比较，通过不同的题目之间的关系，发现数学的奥秘，这是源于他的内在动机，和内在对话。

很可惜，并不是所有孩子都是如此，可以说大部分儿童都不具有这样的自律和内在动机（在数学这件事上），所以，大部分孩子也都需要有人教导和指引，才能在数学这条路上走得更高更远。

教学或辅导是一个交互的过程

正因为有前面这样的背景，今天我要讲的是，在辅导孩子的过程中，无论你是教师，还是家长，都需要了解一点，数学的思维是需要通过分解目标，向儿童提问，与之互动，引发他思考的过程中渐渐树立的。

我在教家长如何辅导孩子的过程中，会特别强调，首先你要做什么，你如何提问，第一步是什么，第二步是什么......我们忌讳把一道题目从头到尾讲完，让他去做练习。你要教的并不是一道数学题的解题方法，而是如何思考的方法。

当人脑只是在被动接受时，整个过程中的思维是僵化，处于记忆状态；如果人脑接受到了在合理范围内的问题，思维就会象齿轮一样运转起来，儿童一旦能够通过已有的经验去回答问题，他们就获得了进一步思考的动力，正是因为这样的原理，数学的教学，秘笈所在，就是你要通过层层推进，让儿童的思维齿轮不断在运转，从而达到提升数学思维的目的。

反观传统的家庭辅导思路，学校的教学，也包括外面的辅导班，奥数班，常常是把结果当方法在教给孩子。不管是线上课程，还是线下课程，家长们感受到的，就是老师讲得特别精妙，让你成人恍然大悟，题目是这样解的，但是孩子学习到了什么，不可知。

孩子可能记住了其中的公式

孩子可能按照解题顺序按步就班去套题目

孩子可能似懂非懂但是无法提问

现在有多少教师有时间有能力与每个孩子进行互动呢？而一对一辅导中，又有多少教师可以从数学思维的角度去引导孩子呢？这些问题留给家长们、老师们去思考。

辅导例子：教你如何教会孩子

我就以一道简单的一年级的分类题作为例子，说明分步互动式的引导是怎么做的。（例子选自数学微课一阶段综合课）。

如果我们只是告诉孩子分成：天上，地上，水里，孩子看上去懂了，但是换一些东西，又没有思路去分类了，所以最重要的还是如何建立孩子对事物进行分类的数学思维。

相信家长们对于怎么分成三类或两类没有什么问题，关键是如何在不告诉孩子答案的前提下，引导他们自己可以理解如何分类，以及进阶一点，进一步理解可以有多种分类标准，获得能够举一反三，灵活应变的能力。

首先：分类建立在察觉事物相关性基础上，要能够找出相同点。所以我们可以先让孩子任意观察两样事物，让儿童说说看到了哪些相同点或不同点。

第二步：一旦孩子能够描述出相同点，你就可以让孩子去找其他与之匹配的。比如孩子说相同点都是“交通工具”，那么请他找其他也是交通工具的事物。如果孩子说的是不同点，比如他说“一个天上飞的，一个不是天上飞的”，你可以请他找出其他有没有也是天上飞的。根据这题对应的年龄段来讲，一般我们认为让孩子找正向的比较有效（也就是“天上飞的”还有哪些）。我在数学微课里，一阶段第四周期有讲过经典皮亚杰实验，结论是反向思维在前运算时期孩子较难掌握，比如“不是天上飞的”。

以上两步，目的是启发孩子先考虑事物的相同与不同点。

第三步：很重要的是，根据某一个我们确定的类别，去启发孩子找与之相关的类别。比如当孩子先确定了“交通工具”这个类别的时候，我们不会引导孩子想“天上、地下”，而会引导孩子想：这些都是交通工具，那你看看其余那些有什么共同点？这个是在引导孩子用归纳总结的能力，比如他说：都是生物，或者动物，或者有生命的……等等描述。这样自然会形成类别的划分。如果孩子通过第一步概括出的类别描述是“天上飞的”，那么我们会问：除了天上的，还有什么地方的？是让他进行联想，在“天上的”这个类别上做关联性发散，他会想到地上，然后重复第二步，最后会余下既不是天上也不是地上，请孩子进行归纳，导出水里的。

以上三步：找相同或不同 - 匹配 - 归纳，可以重复进行。如果都掌握，我们可以再发散，考虑其他分类标准。实际上这题没有标准答案，比如两类，我们也可以分为天上飞的和不是天上飞的，是与否的二分法可以产生许多分类方法。

很多时候这样的题目，无论学校还是外面辅导班，会把重点放到直接给出答案，以及如何编号操作上，通常成人觉得最重要的部分是匹配，是能不能找出哪些是天上飞的，哪些是水里游的……无论是匹配还是让孩子一个个编号，免得漏掉或重复，这些都是按部就班的技巧，或者涉及常识性的经验，却无法让儿童生成“自主分类”这种独立思考的能力，也没有办法锻炼孩子的比较与归纳能力。

从数学思维的角度讲，“怎么让孩子找到三个类别或两个类别，如何去区分类别，或进行概括归纳”，这才是我们真正要培养的能力，掌握这些能力，才能在众多分类题中游刃有余。

而要孩子理解掌握可以有不同分类标准，则有助于他们解答以后更为复杂的数学问题，因为灵活的分类能力是儿童解决数学问题的关键技巧之一，由此可以生成很多策略。