集合思想：为什么孩子数学总是懵懵懂懂，因为你没有渗透这个思想

一切深奥的知识，都有其非常简单的“原型”。

在小学阶段盲目追逐“难”的知识，追求“超越”，是没有意义的。

如果你连最底层的概念都不屑于花功夫弄清楚，

实际上连入门的资格都没有。

从小学一年级到五年级孩子，现在也包括一部分正在进行数学启蒙的学前儿童，希望家长们能够认真看这篇文章，如果你发现孩子看图列算式，带括号运算，等量代换，容斥问题，几何图形分类，乃至分数百分数概念及运算，公因数公倍数，方程移项等等出现问题，你就要去查找一下，是否孩子在“整体”概念上模糊，缺乏对“集合”的认识。

应该说，当我们谈到“集合思想”的时候，觉得很高深，这是中学内容了，我们在小学阶段很少出现这个词，实际上我也很少讲这个词，更不要说让家长去跟孩子讲“集合”了，至少我认为在小学阶段出现这个名词是不必要的。

集合的意思就是以一定标准下判断一群事物是一个整体，它们就是集合（也称“集”），其中每一样事物都是这个集合的元素，数学上我们通常用大括号来表示集合，也可以用文氏图来直观体现集合之间的关系。

（选自汉声数学《来玩文氏图的游戏》）

家长要注意看上面黑体字，里面强调的是一定标准，以及整体。这表示这些事物都具有某种共同的性质特点，同时强调“整体性”，我们可以把集合中的元素看成是整体中的各个部分，集合中的元素如果再合并成为子集，这些子集也可以看成是部分，但他们同时也单独看成是一个整体。

如果我们觉得跟小学生讲集合概念太难没有必要，那么讲“整体部分”就可以了。如果你运用恰当，实际上你就成功地给孩子渗透了集合思想。

今天我要从中西方对这个思想渗透的差别来讲。我曾经给出过下面这张对比图：上方的表格是中国《3-6岁儿童学习与发展指南》中覆盖的数学概念，下方的表格是美国HighScope课程涉及到的9个关键发展指标。其中中国的描述是：集合与分类；美国没有出现集合这个词，而是放在了：部分-整体关系中去讲。

延伸阅读：

中国比西方少了这一项重要的数学核心经验

首先让我们来看看中国讲集合与分类是如何渗透集合思想的。

在《学前儿童数学学习与发展核心经验》一书中，对集合与分类这一核心经验进行了阐释，其中说到：在数学中，把具有某种相同属性的事物的全体成为集合。日常生活中表现在我们把同类事物归到一起，比如交通工具，比如各种各样的狗归类到“狗”这一类别中去。

在谈到数概念的时候，数数要建立在分类基础上，要指出这里有几个苹果，那么就要区分什么是苹果，什么不是苹果。进而谈到这有利于幼儿理解数的组合与分解以及加减运算。

在集合与分类这一章节里，花了大量篇幅在谈分类，比如：

核心经验要点一：物体的属性可用来对物体进行匹配、分类，组成不同的集合。

核心经验要点二：同样一组物体可以按照不同的方式进行分类。

到了核心经验要点三，才谈到集合的关系，讲的是集合中的三种数量关系：

比。。。多

比。。。少

和。。。一样多

在对核心经验的阐述中，一直强调的是“集合”，比如：

“幼儿需要更多的机会去感受如何将物体分成不同的集合，以便更容易进行数量比较。”

“比较前必须先进行分类。。。我们肯定需要把幼儿先分成两类，分类就是为了更容易地进行比较。”

“当幼儿创造或重组集合的能力越来越强的时候，教师就可以鼓励他们对更复杂的组合进行分类和比较。”

“这种分类的方法不同于二分法，因为它组成了2个以上的集合，并且它所定义的集合属性并不是一组相反的概念。。。”

“教师还可以引导幼儿感知集合之间的关系，两个集合之间存在着包含关系和相等关系。”

“从集合的角度看，幼儿数学中的加法就是求已知两个没有公共元素的有限集合的并集的基数”

“减法就是求有限集合与它的子集的差集的基数。”

“因此，集合概念是幼儿掌握概念、进行数的运算的基础。”

我相信能够看完上述文字的家长是少数。

你能相信这是在描述3-6岁儿童数学经验吗？可能有人会说，这是写给教师看的，教师能够理解，真实去引导孩子的时候，不会讲那么深奥，肯定用通俗的语言来表述。

书中的确提到了这点，书中写道：

“对于学前儿童来说，交集、并集、补集、差集的运算关系是较为抽象的，教师可以利用幼儿的生活背景，加以适宜的引导，帮助较大年龄的学前儿童试着理解基于实际生活情境中的集合关系，如在‘人物分类’游戏中讲两个呼啦圈相交，启发幼儿思考‘戴眼镜穿皮鞋的孩子可以站在哪里呢？’从中感知交集的概念；也可以让幼儿给一堆图片分类。。。”

如果你看不出什么问题，让我来给你解释一下，教师对于以上“集合与分类”核心经验的阐释的理解，会把教学的侧重点放在以下知识点上：

教幼儿学会分类，提问幼儿什么物品属于哪一类；

教幼儿学会多重分类，区分某些事物应该在哪一类中；

用类似文氏图的方式，让幼儿学会把事物分到某个位置中去；

教幼儿把事物分组后，进行比较，哪个数量多，哪个数量少；

进而开始教加减法运算。

我相信基本上所有的幼儿教师乃至家长都会认为以上就是包含了集合概念的学习了，然后，接着，可以学习下一个模块了，至于学习了这个模块是干什么的？

大部分人会认为，考试会考到分类，会有画图，分类图形等等，只要会这些就OK了。

因此我听到最多的一句话就是，家长说：我孩子已经会分类了。

你给出一道题目，画些孩子很熟悉的图形，事物上去，让孩子进行分类，或者比较一下数量多少，就认为学完集合概念了吗？

显然，这是完全不够的，而且割裂了数学概念之间的关系，甚至削弱了孩子对“集合”最重要的内部关系，整体部分关系的理解。

你可以看到，当中国教师在谈集合概念的时候，压根儿通篇都没有出现过：“整体”与“部分”这两个词。

我也有理由相信，在幼儿教师引导孩子认识数学概念的时候，也很少用到数学用语，而是各自用自己认为孩子能听懂的口语在讲，并且每一次可能还是不统一的。

有关“数学语言”我想另外花篇幅来讲，这里只是提一句，如果你不能运用统一明确的数学语言来教孩子，那么孩子掌握数学概念的时间将会延长，甚至可能是模糊的错误的。

如果成人在引导孩子理解“集合”的时候 ，仅仅强调事物的分类，而不强调什么是整体，什么是其中的部分，在让孩子进行多层级分类的时候，也没有让孩子理解整体部分的相对性——

比如交通工具一个大类下，还可以分天上的，地面的，海上的交通工具，那么当我们把汽车归入地面的交通工具，飞机归为天上的，船只归为海上的交通工具的时候，成人从来没有强调，或者让孩子思考，实际上交通工具是一个整体，分成了三个部分，其中这三个部分又可以看成是一个整体，继续再细分。

那么又如何能够说孩子理解了“集合”概念呢？我可以说，如果你不强调整体部分，以及其相对性，那么孩子对此连“入门”都没有。

成人只是教了孩子进行分类这样动作，孩子头脑中只是模模糊糊存有对事物一些常识性分类，却没有把它与数学本质联系在一起，因为看不到本质是什么，在他们头脑中只有零散的一个个不同分类，这次分类对了，ok，下一次分类错了，那么只要把这些事物的类别记清楚就好了，这与数学有什么关系呢？

一旦孩子过了学前期，以及小学一年级，不再考分类题了，这就变成了“学过的知识”，不必要再做再记了；等到高年级初中，要考几何图形分类了，错了就再记住就可以了，总之，分类就是分类，分类与集合概念无关，分类也没能让儿童对数的集合产生什么影响。

如果你觉得我讲的有点偏激，不妨看看低年级儿童，有多少搞不清楚带括号运算，我遇到的是一大把一大把，并且当家长去引导孩子认识整体部分的时候，孩子是不能立刻理解的。

你也不妨看看小学各个年级孩子，在对于数学关系的理解上，有多少有“整体性”概念，他们可能区分不了事物的层级，不知道这个量与另一个量之间有什么关系，如果低年级没有搞清楚这层关系，高年级想跟孩子去讲分数百分数，整体是“1”，就会变得极为困难，可以说有极大一部分孩子在这点上是没有过小学数学这一关的。

成人可能始终搞不清楚，孩子为什么听不懂，总觉得孩子懵懵懂懂的，因为孩子的头脑中没有“集合”概念，没有“整体性”概念，没有主动对数量关系进行“分类”。

他们仅有对具体事物的分类，却没有把对具体事物的分类思想迁移到数概念的领域中去，原因就是成人没有跟孩子强调“整体-部分”关系。

你仔细想一想，要把具体事物的“分类”与数量的“分类”统一起来，进行知识的迁移，理解其本质的相同，重点在哪儿？你是否需要用一个统一的数学用语来让他们看上去有一致性？

“整体-部分”关系，就是其中之一，它是用来统一具象事物与抽象事物的数学语言，是很重要的引导语。但是很可惜，在我们的教学中，对此概念的渗透十分之少。

现在让我们再来看一看西方数学启蒙的代表课程，美国highscope课程中提到的关键性指标之一：部分-整体关系。

在解释数学中“部分-整体”关系的意义时，书中直截了当指出：

部分-整体概念指理解一定数量的整体可以由几个部分组成。比如：数量为4的集合可以分解成2和2或1和3，同样的，2和2（或1和3）能够组成（合并）总数为4的集合。

同时谈到部分-整体关系与运算之间的关联：

部分-整体关系是进行简单的数运算的前提，如加法和减法，把一些东西分成相等或不相等的部分。幼儿通过结合数字的两方面的知识：“看见数字”（看见小数包含在大数里面，如看见3包含了1和1和1）和“计数”（知道增加数量，总数变大，减少数量，总数变小）来发展数的组合和分解的观念。

这里部分整体的关系，是通过实物操作直接与数量变化关联起来的。并且非常强调“动作”的可逆性，合并以及分开。

“学前儿童通过把不同数量的东西放在一起（组合）和分开（拆分），来探索部分和整体的关系。当他们把各种东西组装成套或者重新安排时，他们会发现整体可以被分成两个或两个以上小的集合（部分），而且这些小集合又可以重新组合成一个大的集合（整体）。理解如何操作某个整体中事物的数量在数学运算中是十分重要的概念，这可以让幼儿轻松灵活地使用数字。”

这段话是不是很清晰，很简单，一目了然让你明白教孩子集合概念的重点应该放在哪里，没有深奥的术语，也没有形式化的总结，但是你看完就会很清楚应该怎样教孩子。

如果连我们普通家长都能够一目了然，更不要说接受专业训练的教师了。教师能够通过这样浅显的指导，理解应该把教学重点落在什么地方，也很清楚教学语言应该是怎样的，这里的标准十分清楚。

关于如何在活动中渗透“部分-整体”关系，HighScope课程给出了明确的指南，请看下图：

现在，你是否理解，集合概念的渗透，并不是说我们在教纲中出现了“集合”这个词，教会孩子某个知识点就行了，它更需要的是把其中的数学本质以一种清晰、一致、层级递进的方式教给孩子。

可能有家长看完上面中西方核心经验比较后，会质疑，为什么西方没有“分类”这一个核心概念，是不是比中国少了呢？分类也很重要啊。

的确，《3-8岁儿童数学经验》中把分类与逻辑合并在一起，作为数学的基本概念与技能，分类思想也是一种数学思想，在小学数学乃至中学数学中都有很强的体现，但是我要说的是，分类并不是一个知识点，并不象父母所认为的那样：“孩子会了”，不用再学了，或者认为分类是最初级的，学完就应该学加减运算了，这些观念都是错误的。