【中德睿咨询】控制图的八条检验标准

引言

在上周的文章《控‍制图原理》，文武为大家介绍了控制图采用μ±3σ为控制限的原因，以及组内标准差与整体标准差的算法的差异。

但熟悉控制图的朋友都知道，在minitab中，控制图异常的判定标准，可不是只有数据点超过μ±3σ一条。除此之外，还有七条判定标准。他们与μ±3σ这条判定标准，有什么关系呢？

μ±3σ的局限性

如前文所言，特殊变异往往是由产线异常造成的，是我们希望消除的，而特殊变异往往比较大，因此可以使用μ±3σ作为控制限，当数据超过控制限时，就认为其波动幅度太大了，达到了足以让我们认为产生了特殊变异的程度。

但是随着对控制图应用的逐渐深入，人们发现只使用“数据超过μ±3σ”为判定标准，是不够的，例如下面的情况：

在上面的控制图中，从第28个数据开始，连续13个数据持续大于μ。但是如果以“数据超过μ±3σ”作为唯一的判定标准，则需要到第13个数据为止，我们才能得出“过程发生了特殊变异”这一结论。虽然发现了问题，但我们显然可以更早的将异常识别和避免。

以上图为例，当数据连续过多次的出现在规格限上侧时，其实已经预示着过程发生了特殊变异：过程数据已经有了向上漂移的趋势。如果不能及时对生产过程加以纠正，坐等数据超过上控制限，则无疑要付出更高的代价。

因此，只以“数据超过μ±3σ”作为控制图失控的唯一判断标准，有着浓重的“事后诸葛亮”意味。而质量工具的最大价值，在于预防问题。因此我们需要在μ±3σ的基础上，继续补充更多的异常判定标准。

异常判定标准的K是如何确定的？

打开minitab中的特殊原因检验，我们发现一共有八条检验标准，并且minitab已经为各个检验标准制定了默认的K值标准：

以第一条判定标准为例：1个点，距离中心线大于K个标准差，且K=3。其含义就是上文所讲的任何数据点不能超过μ±3σ，是控制图最基础的控制标准。

那为什么控制限是μ±3σ而不是μ±2σ或者μ±4σ呢？

如果以μ±2σ为控制限，由于正态分布只有95.44%的落在μ±2σ中，因此如果以μ±2σ为控制限，即便数据是稳定受控的，也会出现较多的失控点，如下图所示：

过程稳定但是却频频报错，这自然不是我们想要的结果。除了一些需要特殊安全性的行业如医药、航空有可能使用外，一般的制造业不会将μ±2σ作为控制限。

以μ±3σ为控制限，由于正态分布有99.73%的概率落在μ±3σ范围内，因此只要数据是稳定受控的，那么落在μ±3σ范围之外的概率就只有0.27%而已，这么一点错误概率，完全是我们可以接受的。

例如下面的一个稳定过程，使用μ±3σ为控制限，没有误报失控点，但是如果改用μ±2σ为控制限，就会出现非常多的“失控点”：

使用μ±3σ为控制限，过程稳定但是误报出现特殊变异的概率仅为0.27%，虽然使用μ±4σ会进一步降低误报概率，但同时也会无法识别出已经发生的特殊变异：

根据上面所讲的内容，我们可以将使用控制图时所犯的错误分为下面两类：

第一类错误：过程稳定、没有特殊变异，但是控制图却判断其有特殊变异。例如对一个稳定过程使用μ±2σ做控制限，就很容易出现第一类错误。

第二类错误：过程不稳定、存在特殊变异，但是控制图却没有识别出特殊变异。例如对一个不稳定的过程使用μ±4σ做控制限，就很容易出现第二类错误。

使用μ±2σ做控制限，会造成犯第一类错误的概率大幅增加；使用μ±4σ做控制限，会造成犯第二类错误的概率大幅增加。经过权衡，μ±3σ是最好的选择，此时犯第一类错误的概率为0.27%（数据99.73%分布在正态分布的μ±3σ之内）。

接下来以八条判定标准的第二条为例，其内容为：

用控制图标示该条判定标准的话，是这样的：

对于这条判定标准而言，为什么是连续9个点在中心线的同一侧，而不是连续8个点或者10个点呢？

如果点数太少（极端一些，例如连续4个点），则就增加犯第一类错误的概率：过程明明是受控的，但是却误判为失控：

而如果将点数增加，例如改为连续14个在中心线同一侧才判为异常，则将无法识别出本已发生的特殊变异，从而增加犯第二类错误的风险：

与以μ±3σ作为上下控制限一样，以 ”连续9个点在中心线同一侧“ 为检验标准，也是综合考虑了尽量降低第一类和第二类错误概率的权衡结果。

过程稳定受控时，数据超过μ±3σ控制限的概率为0.27%。一个数据大于中心线或者小于中心线的概率都是50%，因而当数据稳定受控时，连续9个点在中心线同一侧的概率，就是0.5的9次幂、再乘以2（分上侧和下侧两种情况），为0.39%。

也就是说，当过程稳定受控时，数据出现连续9个点在中心线同一侧的概率，是0.39%，既犯第一类错误的概率是0.39%。这与第一条判断标准（超过μ±3σ）的第一类错误概率0.27%接近。因此我们最终确定连续在中心线同一侧的数据点数不能超过9个。

细数控制图的八条判定原则

1）一个点超过μ±3σ的控制限：

由于特殊变异造成的产品指标波动往往比较大，且产品指标的异常大或小值也是我们最不能接受的，因此该条检验标准为控制图的第一个检验标准。

2）连续9个点在中心线的同一侧：

上图的情况中，连续9个点大于中心线，说明过程可能由于特殊变异而产生的均值逐渐变大的漂移，如果不对其识别和采取行动，很可能在后续大量出现超过上控制限的点。

3）连续6个点全部递增或递减：

在上图中，连续6个点出现递减，很可能发生了异常，如果不采取措施，新的数据有可能继续递减下去，并最终超过控制限乃至规格限。

4）连续14个点上下交错：

在上图的情况下，数据从第13个点出现上下交错的情况，到第26点满足了 “连续上下交错14个点” 的判定标准，判为异常。

理论上来说，制程数据的分布，应该是 “随机的、独立的” ，或者说本次收集到的制程数据，应该与上一次收集到的制程数据毫无关系。但是在本例中，数据出现了一次上升、一次下降的规律现象，数据之间存在着某种规律，这往往是特殊变异发生的预兆。

5）3个点中有2个点在中心线同一侧的2~3σ范围内：

如上图所示，最后三个数据点明显偏下限，并且倒数第一个、第三个点在μ-2σ至μ-3σ之间，说明数据有持续下探的可能性，应该引起警觉。

那为什么是3个点中有两个点落入该区间，而非4个点中有3个点落入该区间呢？

这又涉及到前面所讲的 “犯错概率” 的问题了。我们可以计算一下 “对于稳定过程而言，3个点中有2个点落入中心线同一侧2~3σ区间的概率”，计算公式为：

上面的公式中，①式代表数据分布在单侧μ-2σ至μ-3σ的概率（正态分布99.73%的概率分布在μ±3σ之内，95.44%的概率分布在μ±3σ之内）。②式代表分布在中心线上侧及下侧的两种情况。③式代表3个点中选择两个点。

计算的结果为0.276%，与正态分布数据分布在μ±3σ之外的概率0.27%很接近。也就是说，使用 “3个点中有2个点，分布在中心线同一侧的2~3σ范围之内”这一判定标准的原因，也是综合考虑了降低第一类错误和第二类错误的结果。

6）5个点中有4个点在中心线同一侧的1~3σ范围内：

显然，第六条判定标准与第五条同出一辙：都是看数据是否出现了连续明显原理中心线同侧的情况。至于为什么是5个点中出现了4个点既判为异常，计算公式如下：

上式的计算结果为0.612%，为第六条检验标准犯第一类错误的概率。

7）连续15个点在μ±1σ范围之内：

相对于上面的其它大部分异常而言，当控制图违背本条原则时，往往意味着“好事”：连续15个点分布在μ±1σ范围之内，说明数据分布的更为集中了，变异更小了。

对于稳定的生产过程而言，出现此情况的概率为：

也就是当过程稳定时，此条检验标准犯第一类错误的概率为0.326%，与正态分布不分布在μ±3σ之内的概率0.27%很接近。

8）连续8个点在μ±1σ范围之外：

对于一个正常的制程数据而言，其大部分数据（68.27%）应该分布在μ±1σ范围之内，因此数据连续的分布在μ±1σ之外的可能性并不高。

数据出现了上图所示情况，说明数据本身已经不再以μ为真正的中心，而很可能出现了 “双峰” 的情况。上图中的后9个数据，很可能出现了μ 1σ及μ-1σ两个峰。这时候需要重点分析两个峰的原因。

八条检验标准的归类

1）发生了造成数据较大波动的特殊变异：

第一条标准：一个点超过μ±3σ的控制限

2）过程可能发生了漂移：

第二条标准：连续9个点在中心线的同一侧

第三条标准：连续6个点全部递增或递减

第五条标准：3个点中有2个点在中心线同一侧的2~3σ范围内

第六条标准：5个点中有4个点在中心线同一侧的1~3σ范围内

3）过程发生了“好的变异”：

第七条标准：连续15个点在μ±1σ范围之内

4）过程出现了双峰情况：

第四条标准：连续14个点上下交错

第八条标准：连续8个点在μ±1σ范围之外

当然，以上八条检验标准都是minitab软件默认提供的，但是在实际工作中，只掌握上面八种判定标准，可是不够的。还有一些软件虽然无法识别、但是需要我们通过经验来判断的异常状况。具体内容，请见下周的文章。

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