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Email: 103282699@qq.com. QQ：103282699. 提倡“我为人人，人人为我”，欢迎广大朋友提供好的资料、文章、题解和学习经验，共同学习，共同进步。 这是我前年写的一篇小文章，是推导一个公式的。 功率谱密度(简称功率谱)是随机信号分析中的一个重要概念. 当信号是功率型随机信号时, 由于它不满足傅里叶变换的条件, 因此不能对样本进行傅里叶变换求得频谱函数, 只能用功率谱密度来描述其频域特性, 即功率随频率的分布. 由于随机信号是大量样本的集合, 它的功率谱密度其实是大量样本信号的功率谱密度的统计均值. 经典的通信原理及随机信号分析教科书[1-4]都介绍了宽平稳随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系, 即它们满足傅里叶变换和逆变换的关系, 即维纳-欣钦公式. 本文针对经典教材[1]探讨宽平稳过程经过一个乘法器之后输出信号的功率谱密度, 对有关教科书对该问题的处理进行评析, 指出存在的问题, 并对输出信号的功率谱进行严格的推导. 公式(3)和公式(2)内涵其实是一样的. 这里存在一个问题: 输出信号的自相关函数只有是各态历经的, 才可以用时间平均代替集平均, 但是乘法器输出是一个非平稳过程, 它的各态历经性不是“显然的”, 因此, 对自相关函数求时间平均的做法是没有科学根据的. 而且, 维纳-欣钦公式只对宽平稳随机过程才适用, 对非平稳过程是不能采用该公式的. 既然文献[2]采用的是一种“近似方法”, 但是没有出现一个近似符号, 看起来完全是“精确方法”. 文献[3]给出与文献[2]完全一样的推导过程和结果, 也是对输出过程的自相关函数求时间平均, 然后取傅里叶变换, 得到输出过程的功率谱, 同样存在对非平稳过程的自相关函数取时间平均、没有充分根据的问题. 4 结论 本文针对模拟调制和数字调制中经常用到的乘法器输出信号的功率谱的公式, 用功率谱的定义式进行了推导. 虽然最后的结果和其它文献是一样的, 但是本文的推导是建立在严格的基础之上的. 由此得出如下结论: (1) 自相关函数的时间平均和集平均只有在各态历经平稳随机过程的条件下才是相等的, 不能随意使用时间平均代替集平均; (2) 对于公式的推导, 建立在最原始定义之上才是最可靠的, 推导中不能采用一些似是而非的结论; (3) 最重要的是, 对待每一个公式和定理等, 都要采取审慎的态度对待, 在教学中培养学生严谨的科学态度. 参考文献 [1] 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理(第6版). 北京: 国防工业出版社, 2010 [2] 蒋青, 于秀兰. 通信原理(第2版). 北京: 人民邮电出版社, 2008 [3] 罗新民, 薛少丽, 田琛. 现代通信原理(第二版). 北京; 高等教育出版社, 2008 [4] 陈明. 信息与通信工程中的随机过程(第三版). 北京: 科学出版社, 2009
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