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2014年9月20日在上午和下午北京师范大学教师教育研究中心老师的两帐讲座的中午休息时间，来到观音桥购书中心，发现了这本关于数学与哲学的书，觉得对于正在进行的高中哲学教学很有帮助，于是就购买了回来，有时间好好读读。 翻开西方数学史或哲学史，人们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。 追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。 在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。 由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中院士的《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。所以，通过这本书的阅读，我们可以了解到数学发展史上发生的一系列重大事件，比如，数学经历的三次“危机”、数学与哲学相互促进发展的过程等等。 这是一本视角独特的书，读者在阅读中会有一种非常强烈的感受：作者基本是从数学的视角出发对一些哲学问题做出阐释的。或者说，这是一本以数学家的眼光分析哲学问题的书。比如作者对芝诺悖论、白马非马诡论、鸡生蛋还是蛋生鸡等问题都从数学家的立场给出了巧妙解释。细心的读者从中不但可以了解观点，而且可以进一步体味到数学家独特的思维方式。 1 数学的领域在扩大。 哲学的地盘在缩小。 哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对象。那时，它是包罗万象的，数学只不过是算术和几何而已。 17世纪，自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”。这个时候，数学扩大了自己的领域，它开始研究运动与变化。 今天，数学在向一切学科渗透，它的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式。可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析，把问题缩小到“人能说出些什么”。 哲学应当是人类认识世界的先导，哲学关心的首先应当是科学的未知领域。 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。 一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时，哲学沉默了。它倾听科学的发现，准备提出新的问题。 哲学，在某种意义上是望远镜。当旅行者到达一个地方时，他不再用望远镜观察这个地方了，而是把它用于观察前方。 数学则相反，它是最容易进入成熟的科学，获得了足够丰富事实的科学，能够提出规律性的假设的科学。它好像是显微镜，只有把对象拿到手中，甚至切成薄片，经过处理，才能用显微镜观察它。 哲学从一门学科退出，意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科，甚至控制一门学科，意味着这门学科达到成熟的阶段。 哲学的地盘缩小，数学的领域扩大，这是科学发展的结果，是人类智慧的胜利。 但是，宇宙的奥秘无穷。向前看，望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现，而在它们出现之前，哲学有许多事可做。面对着浩渺的宇宙，面对着人类的种种困难问题，哲学已经放弃的和数学已经占领的，都不过是沧海一粟。 哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但是它可以从事任何具体学科无法完成的工作，它为学科的诞生准备条件。 数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作，但是它离开具体学科之后无法作出贡献。它必须利用具体学科为它创造条件。 模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜。 2 数学始终在影响着哲学。 古代哲学家孜孜以求的是宇宙本体的奥秘。数学的对象曾被毕达哥拉斯当作宇宙的本质，曾被柏拉图当作理念世界的一部分。 柏拉图认为，数学与善之间有密切的关系。 近代哲学家热情地探索人的认识能力的界限和认识的规律，在数学的影响下产生了唯理论学派。他们认为数学思维的严密性是认识的最高目的。唯理论的两位大家——笛卡尔和莱布尼茨——正是卓越的数学家。另一位唯理论的著名代表人物斯宾诺莎，他有一本写法奇特的代表作《伦理学》，这本书完全仿照几何学的体例，先提出定义、公理，然后用演绎法一个一个地对命题加以证明，并以“证毕”作为论证的结束。他确信哲学上的一切，包括伦理、道德，都可以用几何的方法一一证明。 唯理论的哲学论敌是经验论。可是经验论的代表人物霍布斯也认为几何学的方法是取得理性认识的惟一科学方法。另一位经验论著名人物洛克，也认为数学知识才具有确定性与必然性，感觉的知识只是具有或然性。 在西方有巨大影响的是康德的哲学。康德哲学的出发点是解决这样一个基本问题：既然人的认识都来源于经验，为什么又能得到具有普遍性与必然性的科学知识特别是数学知识呢？于是他提出人具有先验的感性直观——时间与空间。可以说，对几何学的错误认识，导致了康德学说的诞生。 数学的成功使哲学家重视逻辑的研究与运用。古代有亚里士多德的《工具论》，现在有西方的逻辑实证主义。 现代数学把结构作为自己的研究对象，现代西方哲学的一个重要派别就是结构主义。 数学讲究定义的准确与清晰，现代西方哲学则用很大力气分析语言、概念的定义。 为什么哲学家如此重视数学呢？ 当哲学家要说明世界上的一切时，他看到，万物都具有一定的量，呈现出具体的形，数学的对象寓于万物之中。 当哲学家谈论怎样认识真理时，他不能不注意到，数学真理是那么清晰而无可怀疑，那样必然而普遍。 当哲学家谈论抽象的事物是否存在时，数学提供了最抽象而又最具体的东西，数、形、关系、结构。它们有着似乎是不依赖于人的主观意志的性质。 当哲学家在争论中希望把概念弄得更清楚时，数学提供了似乎卓有成效的形式化的方法。 数学也受哲学的影响，但是不明显。 即使数学家本身也是哲学家，他的数学活动并不一定打上哲学观点的烙印，他的哲学观点往往被后人否定，而数学成果却与世长存。 数学太具体了，太明确了。错误的东西易于被发现，被清除。 在唯物主义哲学看来，数学家在从事数学研究中，通常是坚持唯物主义观点的，尽管可能是不自觉的。 然而有些杰出的数学家，明显地表现出唯心主义倾向——特别是数学柏拉图主义。如康托尔，他认为无穷集是客观独立存在的，不过这很可能更激发了他的研究热情。 可不可以说，许多数学家是自觉的唯心主义与不自觉的唯物主义的结合呢？ 这是一个复杂的问题。但是，在现代数学的洪流之中，这问题似乎已经消失了。现代西方哲学认为唯物论与唯心论的对立是无意义的，这其实也受数学的影响。数学有过一次经验：讨论欧几里得几何与非欧几何哪个是真是无意义的。 如果真的是由于数学的影响，应当说数学这次对哲学的影响是消极的。 数学对哲学的影响，哪些是积极的？哪些是消极的？有待哲学家研究。 3 哲学对具体的东西作抽象的研究。 数学对抽象的东西作具体的研究。 哲学研究世界上一切事物共同的普通的规律，研究人如何认识世界，研究概念的意义。这些被研究的东西是具体的，一般人都可以想像，可以把握。 数学研究的东西使人难以想像，高维空间、非欧几何、超限数、豪司道夫怪球，达到高度抽象。不是内行，很难理解。 可是哲学命题却使人难以把握其确切含义。比如，哲学家常常说“存在”。什么叫存在？使用存在这个概念要服从什么法则？谁也没有清楚地阐述过。 哲学家常常说“事物”。什么叫“事物”？如何运用“事物”这个概念？也没有界说。 哲学家的有些命题，只可意会，不可言传。比如“世界是物质的”，这是一条十分重要的哲学命题。从常识出发，人人能理解，而且它是与科学的发现始终一致的。但是如果从宇宙上追究，那么究竟什么叫“物质”？如何证明世界是物质的？根据这个命题如何指出具体的实验方法？这些都是很难回答的。无论科学有了什么新发现，也不可能否定这个基本命题。它给人以启示，给人以指导，但你又抓不住它的具体内容。 数学研究的对象虽然抽象，但是可以作具体的研究，而且只能作具体研究。数学中的许多概念，可以言传而不可意会。用符合、语言，一步一步可以讲得很严格，很具体，至于它究竟是什么，由于抽象的次数太多了，头脑中已难以想像。可是推理、论证，却决不含糊。 西方现代哲学热衷于把概念精确化，这似乎是受了数学的影响。但是，哲学的本质是不精确的，因为哲学的对象是科学的未知领域。如果哲学像数学那样精确严格，哲学也就成了数学的一部分，不再是哲学了。 4 涉及具体问题时，语言必须精确严格。数学的看家本领，就是把概念弄清楚。这本领是经过两千多年才练出来的。 有些扯不清的事，概念清楚了，答案也清楚了。 先有鸡还是先有鸡蛋？这常常被认为是扯不清的事。 这个问题并不是与哲学无关。13世纪的经院哲学家，被罗马教皇封为“神学之王”的托马斯，曾提出过关于上帝存在的五种“证明”，其中一种“证明”是： 任何结果总有原因，其原因又是其他原因的结果。依此类推，必有一个最初的原因，这就是上帝。 依照托马斯的逻辑，先有鸡先有蛋的问题只能这样解决：上帝造出了第一只鸡，因而先有鸡。这就把问题与哲学联系起来了。 现在我们抛开子虚乌有的上帝，从科学角度分析，是先有鸡，还是先有鸡蛋呢？ 只从逻辑上讲，可能没有答案。例如：“最小的整数是奇数还是偶数”就没有答案，因为没有最小的整数。 能不能说，鸡与鸡蛋，像偶数与奇数一样，没有最先的呢？这不行。我们已经知道，地球上本来没有生物，也没有鸡和鸡蛋，它们是在自然界发展中出现的，应该有一先一后。 对这样的问题，数学思维方式是问一问什么是鸡，什么是鸡蛋，它们之间有什么联系。 如果生物学家无法判断什么是鸡，当然也无法回答这个问题。我们应当假定，什么是鸡的问题已经解决，否则，问题没有意义。 什么是鸡蛋呢？鸡蛋的概念不应当与鸡无关，否则问题也没有意义了。根据常识，我们可以提供两个可能的定义： （1） 鸡生的蛋才叫鸡蛋。 （2） 能孵出鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。 如果选择定义（1），自然是先有鸡，第一只鸡是从某种蛋里出来的，而这种蛋不是鸡生的，按定义，不叫鸡蛋。如果选择定义（2），一定是先有蛋。孵出了第一只鸡的蛋，按定义是鸡蛋，可它并不是鸡生的。 只要我们把定义选择好，问题就迎刃而解。 如果不把鸡蛋的定义确定下来，问题自然无解。不知道什么是鸡蛋，还问什么先有鸡先有蛋呢？ 至于怎么选择定义才合理，那就是生物学家的课题，说不定有一番争论。 这就是数学家的常用的办法——问一个“是什么”。古代的哲学家不懂得这个方法，古代的数学家也不太懂这个方法。这个方法是从非欧几何诞生之后数学家才掌握的。现代西方哲学家正力图把这个方法搬到哲学中去，是否能成功现在还很难说。 5 个别和一般的关系，在两千多年的时期内一直是哲学家争论的话题。 柏拉图认为，具体事物是虚幻的，抽象的概念倒是真实的。世界上除了大狗、小狗、黄狗这些个别的狗之外，还有一个理念的狗。具体的狗可以变化、死亡，而理念的狗是永恒的、绝对的。具体的狗之所以是狗，是因为它分有了“狗”这个理念。 亚里士多德批判了柏拉图的理念论，他指出，一般不能离开个别而存在。除了具体的这只狗、那只狗之外，没有一个另外的抽象的狗。他并不认为一般存在于个别之中。列宁赞扬亚里士多德对柏拉图的批判，又认为他就是弄不清一般和个别的辩证法。 到了中世纪，在经院哲学内部，分成了唯名论与实在论两派，他们之间进行了激烈的争论。唯名论认为：“个别”高于“一般”，一般概念仅仅是一个名词，个别的事物才是真的。实在论认为，“一般”高于“个别”，“一般”是独立实在的，先于“个别”，派生“个别”。 这两派的斗争非同小可。唯名论者常常受到打击与迫害。因为他们认为，具体的、个别的“王权”高于一般的、普遍的“教会”。而这当然触犯了教权，在中世纪，教权是高于一切的。 在中国古代，有公孙龙“白马非马”的著名诡论。他说：要马，黄马黑马都可以。要白马，黄马黑马就不行了。可见白马非马这种说法，难倒了当时的许多人。 一般与个别的关系，长期在争论，也就说明长期弄不清。 其实，用数学中集合的概念很容易弄清一般与个别的关系。 这只狗、那只狗，过去的每一只狗、未来的每一只狗，构成一个集合，这个集合就叫做狗集合，不过通常略去集合二字罢了。具体的狗是狗集合的元素。黑狗，是狗集合的一个子集。这样看，“一般”是存在的，它作为集合而存在。个别也是存在的，它作为集合的元素而存在。集合由元素构成，没有元素的集合是空的，可见一般离不开个别。 公孙龙的诡论，一方面是弄不清一般与个别的关系，另一方面是利用了语言的歧义。 我们常常用“是”、“非”这些字眼，但是，它们在不同的场合意义不同。 “是”可以表示“等于”。“欧几里得是《几何原本》的作者”，这里，“是”可以表示等于。 “是”可以表示“属于”。“欧几里得是古希腊数学家”，这里，“是”不再表示等于了。“古希腊数学家”是一个集合，欧几里得是这个集合的一个元素。元素与集合的关系，在数学上用“属于”来表示。 “是”可以表示“包含于”。“狗是哺乳动物”这句话里，“狗”是一个集合，“哺乳动物”也是一个集合。这句话表示：“狗”集合是“哺乳动物”集合的子集。在数学里，若甲集是乙集的子集，就说甲集包含于乙集。 回到公孙龙的“白马非马”，我们问：这里“非”字是什么意思呢？ “非”是“是”的反面。“是”可以表示“等于”、“属于”或“包含于”，“非”也就可以表示“不等于”、“不属于”或“不包含于”。 “马”是一个集合，“白马”是“马”的一个子集合，“白马非马”中的“非”字，如果表示“不等于”，这句话是对的，因为白马集合确实不等于马集合。如果表示“不包含于”，就错了，因为白马集合包含于马集合。 顺便说一句，说“白马集合不属于马集合”，从数学上看是不对的。因为“属于”表示元素与集合之间的关系，不用来表示集合之间的关系。 这样，“白马非马”也就成了索然无味的、毫无诡论意义的普遍陈述了——只要说清楚“非”字的含义就可以了。 被誉为“哲学之王”的黑格尔说：你可以吃樱桃和李子，但是不能吃水果。这无非是说樱桃和李子不是水果，和白马非马是一样的，不过比公孙龙晚了两千多年罢了。 6 客观事物作用于人的感官，使人产生相应的概念。我们看见月亮这个东西，才有了月亮这个概念。这表明先有事物后有概念。 但是，有些事物是人发明出来的，人必须先在头脑中形成一定的概念，作为创造具体事物的依据。因此，对于人为的事物，则可以先有概念，后有事物。 提到数学对象，产生了一个难题：点、线、面、数这些概念与它们所代表的事物，是哪个在前哪个在后呢？是先有了点、线、面、数这些事物，反映在人们头脑中成为概念，还是人们在头脑中形成概念之后，把它们创造出来用以描述客观世界呢？ 认为世界上先有了点、线、面、数，这正是柏拉图的唯心主义的理念论。 认为它们是人从概念中创造出来的，如何解释数学定律的客观性与准确性？ 只有这样解释：客观事物的数量关系和空间形式在人的头脑中抽象为数学概念，人根据概念又创造出数学对象。数学对象之间的关系与客观世界一致，并不奇怪。 一个真正奇怪的故事是虚数的产生。-1的平方根，是数学运算的结果。在几百年的漫长时期中，最伟大的数学家也认为它纯属虚幻，后来才发现它并不虚。它反映了客观世界的某些性质与规律，但它一开始并不是客观事物在人头脑中的反映，是人通过运算把它创造出来的。 人创造出虚数，可是虚数服从的数学规律不以人的主观意志为转移，因此，数学家觉得，不是人创造了虚数，而是人发现了虚数。 同样，数学家认为哈米尔顿发现了四元数，而不是发明了四元数。 数学家总是自觉不自觉地把他们研究的对象想像成客观的实在。但是，当他们认为规律是客观的时候，他们被认为是唯物的，当他们认为数学对象是实在的时候，他们又被认为是唯心的。唯心主义能够在数学中找到栖身之处。正如列宁指出过的：在最简单的抽象中，已经包含着唯心主义的可能中。 回到开始的话题。可不可以说，数学对象是和概念同时产生的呢？这时，事物不过是概念，概念也就是事物。 7 现代西方哲学诸派有一个共同的特点，他们都认为“世界是物质的还是精神的”这个哲学基本问题是无意义的假问题。 例如，逻辑实证主义就认为，唯物主义与唯心主义争论的这个问题，是形而上学的假陈述。他们认为，唯物论与唯心论的对立实质是表述方式的不同。唯物论认为存在一个不以人的意志为转移的客观世界，而唯心论并不否认这个客观世界的存在，只是提出这个客观世界的可感觉的意义。无论是唯心论还是唯物论，都没有提出可供经验证实的具体内容。而在逻辑实证主义看来，如果提出一个命题而不能描述出证实的方法，这个命题就是无意义的。 很明显，逻辑实证主义深受数学的影响。他们要求命题的表达严格准确，要求证实——经验证实或逻辑证实。 例如，“世界的本原是物质”，“世界的本原是精神”这两个命题中，包含了“本原”这个词。什么叫本原，什么叫物质，什么叫精神，都是没有说清楚的，因而是无意义的命题。 但是，怎样才能说清楚呢？说清楚，无非是用另一个字眼或另一些字眼代替“本原”、“物质”或“精神”这些字眼。而新引进的字眼本身也有待用别的字眼说清楚，这就陷入无穷回归之中。 怀疑主义哲学怀疑数学真理的主要论据就是认为这种“无穷回归”不可避免，但是数学已跳出这个无穷回归的怪圈，那就是结构主义的数学。数学说：我们研究某种结构，这种结构如果具有某种性质，则必具有另外某种性质。 这是数学的特点，它不肯定“是什么”的问题，它只说，如果是什么，那么就如何如何。 哲学在这一点上不能学习数学。哲学命题从来不带“如果”。“世界是物质的”，“一切事物内部包含着矛盾”，“运动本身就是矛盾”，这些命题的特点是无条件的，是断言，是斩钉截铁的陈述。 因此，无法要求哲学把命题陈述得更清楚，否则，或陷入无穷回归，或成为假言命题。这都不符合哲学探求普遍规律的本性。 能不能设计一种科学实验检验一下，世界本原究竟是物质的还是精神的？爱因斯坦的相对论不是用设计试验的办法来检验的吗？ 不可能。无论科学实验得出什么结果，唯物论会说，这是物质的本性；唯心论者也会说，这是精神的特点。 哲学绝不肯把自己命题的生命与某一个科学实验的结果联系起来。实际上，唯物论者无非是说，世界就是世界本身，用不着在世界本身之外再找寻什么原因，这当然是永远无法推翻的。但是唯心论者硬要再问，世界本身为什么是这样的呢？他们说，这是由于“绝对理念”，或由于“冲创意志”，或由于别的什么。如果再问为什么绝对理念是这样的呢？什么会有冲创意志呢？有陷入无穷回归之中。既然不必再问下去，为什么不早一点停止追问，把答案限制于世界就是世界本身——“世界是物质的”呢？ 用逻辑和实验都无法否定唯心主义。也许最好的批判是“奥卡姆的剃刀”，或者数学家拉普拉斯的名言“我不需要这个假设”。 8 批判理性主义主张“证伪原则”，认为只有能被经验证伪的命题才是科学命题。 其理由是：科学命题是全称判断，举多少例子也不能证实，但是有一个反例就能证明命题不成立。 然而这种看法不全面。数学里面有各种类型的命题： 哥德巴赫猜想：每个大于2的偶数都可以表为两个素数之和。检验多少偶数也不可能证实它，找到一个反例就可以证明它不成立。 解的存在定理：数学里有许多存在性定理，定理往往肯定某一方程有解。这种类型的命题，实际检验只能肯定它，不能否定它。实际检验，无非是把数代入方程试一试。满足了，命题就成立；不满足，并不能否定命题，因为还可以再试验别的数。这类命题物理学里也有，如磁单极存在的猜想。 孪生素数无穷的猜测：如果p和p+2都是素数（如3与5，5与7，17与19），便称它们是一对孪生素数。数学家猜想“孪生素数是无穷的”。给了任一个p，很容易检验p和p+2是不是一对孪生数。但是无论检验的结果如何，既不能证实这个命题，也不能推翻这个命题。能说它不是一个科学的命题吗？ 看来，逻辑实证主义的“证实主义”，批判理性主义的“证伪主义”，都不足以判定一个命题是不是科学命题。科学命题可能被证实而不被证伪，也可能被证伪而不被证实，甚至可能既不被证伪又不被证实。 哲学上的许多命题，既不能被证实，又不能被证伪。 “物质是无限可分的，不存在不可分的基本粒子”，它永远不可能被证实，但是也不可能证伪。即使把目前已发现的“基本”粒子再分100万次，还不能算“无限可分”。可是反过来，即使100万年都不能把“基本”粒子在分割成更基本的粒子，也不能推翻这个命题。反过来，假定物质有不可分的基本粒子组成，也是既不能证实，也不能证伪的。 类似地，“宇宙是无限的”，“宇宙是有限的”，也不可能证实或证伪。 看来，一个命题是不是科学命题，不能简单地从逻辑上来确定。这是一个复杂的问题，只能在社会实践中检验。 9 数学从客观世界汲取营养，形成自己的概念。然而概念一旦形成，就有了自己的性质，数学家奈何它不得。 康托尔和戴德金在建立实数理论的时候，并没有想到实数比自然数多，更没有想到一小截线段上的点和全空间的点一样多。集合论中的发现是康托尔自己一再吃惊。 数学家自己事先想不到的事太多了。 圆规直尺不能三等分角，五次以上方程没有根式解，非欧几何，豪司道夫怪球，这些都是不可能用具体例子证实的真命题。 数学世界是人的创造，它却是客观的。它的内在性质与规律不以人的主观意志为转移。 批判理性主义的创始人，当代西方著名哲学家波普，他的证伪主义虽不足取，但是他的三个世界的理论却包含了极有价值的东西。 波普认为世界由三个部分组成： 世界1——物理世界，即物质世界； 世界2——精神世界； 世界3——人类精神产物的世界。 其实，世界2不过是世界1的一部分。因为人脑也是物质，精神活动也是物质活动，不过因为是人在研究，就特别重视自己的精神，也就把它单列为一个世界了。 世界3的确是独具特色，它是精神世界的产品，又具有物质世界那种不依人的主观意志为转移的客观规律性。世界3完全由信息组成。它是以世界1中的信息为基本原料，在世界2中进行加工的结果。 数学对象存在于何处？现在可以说，它存在于世界3，世界3不是柏拉图的理念世界，因为已经肯定了先有世界1。但是，世界3对世界2有重要影响，并且它还通过世界2来影响世界1。 |
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