【原】【中考数学课堂】第116课

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）．在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）．

例如：函数f（x）=x²﹣2x﹣3，当x=4时，f（4）=4²﹣2×4﹣3=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：

如果函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）．f（b）＜0，那么函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内有零点，即存在c（a≤c≤b），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范围内的根．

例如：二次函数f（x）=x²﹣2x﹣3的图象如图1所示．

观察可知：f（﹣2）＞0，f（1）＜0，则f（﹣2）．f（1）＜0．所以函数f（x）=x²﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范围内有零点．由于f（﹣1）=0，所以，﹣1是f（x）=x²﹣2x﹣3的零点，﹣1也是方程x²﹣2x﹣3=0的根．

（1）观察函数y₁=f（x）的图象2，回答下列问题：

①f（a）·f（b）   0（“＜”“＞”或“=”）

②在a≤x≤b范围内y₁=f（x）的零点的个数是  ．

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）①根据函数的增减性，函数值的乘积，可得答案；

②根据图象与x轴的交点，可得答案；

（2）①根据零点函数值，可得方程，根据解一元二次方程，可得答案；

②将x₁、x₂的表达式代入x₁＜1＜x₂中即可求出a的取值范围，结合a是整数的条件可求出a的值，由此可确定抛物线的解析式；求PQ的取值范围时，过C作CD⊥x轴于D，连接CQ；

根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标，即可得到AD、CD的长，由此可求出∠BAC=60°，根据抛物线的对称性即可得到∠ABC=∠BAC=60°，由此可知△ABC是等边三角形，而△AMP、△BNP也是等边三角形，那么M、N分别在线段OC和线段BC上；

易知CM∥PN，MP∥BC，则四边形PNCM是平行四边形，而Q是MN的中点，则Q也是CP的中点，即C、Q、P三点共线，由此可得PC=2PQ；

在等边三角形ABC中，P在线段AB上运动，且不与A、B重合，因此PQ的取值范围应该在AD和AC长之间，可据此求出PQ的取值范围．

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