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如图，在矩形ABCD中，E在BA延长线上，连接DE，F在DE上，连接AF、FC，且BE=BD． （1）如果AB=4，∠ADB=30°，求DE的长； （2）如果EF=AF，求证：AF⊥CF． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵∠ADB=30°，AB=4， ∴DB=2AB=8，∠DBA=60°， ∵BE=BD， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=8； （2）连接BF． ∵矩形ABCD，∠DAE=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠4=90°， 又∵EF=FA， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∴DF=FA， ∵∠ADC=∠EAD=90°， ∴∠FDC=∠FAB ∵矩形ABCD中，AB=CD， 考点分析： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质． 题干分析： （1）首先由含30°锐角的直角三角形的性质可求出BD的长，再证明三角形△BDE是等边三角形，进而可得DE=BD=8； （2）连接BF，利用矩形的性质和已知条件可证明△FDC≌△FAB，所以∠5=∠7，再证明∠7+∠6=90°，继而可得：AF⊥CF． 解题反思： 该题以矩形为载体，以全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识来分析、判断、解答． |
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