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典型例题分析1： 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）求证：BF=EF； ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴DF⊥OD， ∴直线DF与⊙O相切； （2）连接AD． ∵AC是⊙O的直径， ∴AD⊥BC，又AB=AC， ∴BD=DC，∠BAD=∠CAD， ∴DE=DC， ∴DE=DB，又DF⊥AB， ∴BF=EF． 典型例题分析2： 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：AC·AD=AB·AE； （2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长． ∵AE是直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴AD/AB=AE/AC， ∴AC·AD=AB·AE； （2）解：连接OD， ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD， 在RT△OBD中，OE=BE=OD， ∴OB=2OD， ∴∠OBD=30°， 同理∠BAC=30°， 在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4． 考点分析： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 题干分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论； （2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长． 典型例题分析3： 如图，⊙O与直线l相离，OA⊥l于点A，OA交⊙O于点C，过点A作⊙O的切线AB，切点为B，连接BC交直线l于点D （1）求证：AB=AD； （2）若tan∠OCB=2，⊙O的半径为3，求BD的长． 考点分析： 切线的性质；解直角三角形． 题干分析： （1）连接OB，利用切线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADB=∠ABD，利用等角对等边证得； （2）设AC=a，则AB=AD=2a，在Rt△AOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值，进而求得BD的长． |
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