【原】【中考数学课堂】第936课：几何有关的综合题讲解

典型例题分析1：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：AD=AF；

（2）四边形ADCF是形；

（3）若AB=AC，则四边形ADCF是形．

考点分析：

正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定．

题干分析：

（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC/2，即可证得：AD=AF；

（2）由（1）知，AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形；

（3）由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形。

典型例题分析2：

如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）证明：DM=DA；

（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；

（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．

考点分析;

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

题干分析：

（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；

（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；

（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG·BE=EH·EC，又BE=EC，所以EH=BG=5．

典型例题分析3：

如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

考点分析：

相似形综合题；压轴题．

题干分析：

（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出PH/BC=AP/AB，从而求出AB，再根据PH/3=（5-t）/5，得出PH=3﹣3t/5，则△AQP的面积为：AQ·PH/2=t/2·（3﹣3t/5），最后进行整理即可得出答案；

（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，AE/AC=AP/AB，求出AE=﹣4t/5+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC/2得出﹣9t/5+4=﹣t/2+2，再求t即可；

（3）由（1）知，PE=﹣3t/5+3，与（2）同理得：QE=﹣9t/5+4，从而求出PQ=√（18t2/5-18t+25），

在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即√（18t2/5-18t+25）=t，③当PQ=AP，即√（18t2/5-18t+25）=5﹣t，再分别计算即可．

解题反思：

此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．