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经常有学生或者家长跟我说（当年）学习高等数学或微积分时是多么的痛苦，多么的绝望。甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。确实 ，高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。 事实上，我们学习高数不用这么痛苦，可以很高效，比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。 第一个原则就是：专注于计算，抽象的定义与理论先放一边。 高数，本质上就是微积分，很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法，它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用，也就掌握了高数这门课程。 高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难，但如果确实弄不明白，先放一边，或许学到后面能明白，但实在不明白也没关系，根本不影响后面的学习。 举例来说，很多同学第一次看到极限的严格定义，估计就懵了。不要说里面的数学，就是想把这段话读顺都不容易，太拗口了，逻辑顺序都难弄得清。但是没有弄懂这个定义，完全没有影响的后面的学习。对于极限，我们只需要理解它的直观定义就够了：当 x 不断靠近 a 的时候， f(x) 无限靠近 A，就称 A 是 f(x) 当 x 趋近于 a 时的极限。 顺带说一句，极限的这个严格定义，是分析学里的一个核心概念，它还在实变函数，泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生，都不一定能把这个定义完全弄明白，所以第一次学，弄不懂是很正常的事。 我们要讲的第二个原则是：学好三种计算，求极限，求导数，求不定积分 我们前面讲了，微积分就是计算，要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说，定积分基本上可以用不定积分法来求，重积分是用定积分来求，曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。 这三种计算，求导数还好，基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则，套上去，基本上就求出来了。这里我稍微提一下，基本的求导公式不要去背，很容易背混的。要边做题边记，最后能够不看公式，就能做完做对，那么公式就记下来了。 求极限的方法很多，十几种，四则运算，几种初等的方法，两个重要极限，洛必达法则是最常用的几种。会了这几种，可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法，要熟练掌握也得花一点功夫，因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求，只有足够熟练了，才能一眼看出该用哪一个方法。 不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法：第一类换元，第二类换元和分部积分。但是怎么换，第一类换元还是第二类换元，换哪一个，还是分部积分；或者是先换元再分部还是先分部再换元，都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换，有理函数的分解，都使得不定积分变得异常复杂。 虽然不定积分这么复杂，但我可以说，掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分，导数就掌握了，定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算，就象掌握了除法，乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式，求定积分无非就是求一个不定积分，再代函数值而已。 我们的第三个原则是：学会微积分的应用。 一元微积分部分，导数的应用主要是洛必达法则，极大极小值和函数的性态（增减，凹凸）；积分的应用主要是面积、体积。 多元微积分基本上是计算，应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。 遵守这三条原则，高数就没那么难了。 |
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