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滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！ 计数原理复习 计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。教材中在对两个计数原理介绍的基础上给出了两个应用，排列组合及二项式定理，在应用中需要对原理的灵活运用是本章的重点也是难点。 一、计数原理 加法原理与乘法原理是对两个计数原理的简称，对于这两个原理要区别其特点，即完成一个任务是需要分类还是分步，以及在具体问题中的两个原理综合的顺序判断。 例1.某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有( ) A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得．列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律． 练习1.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 解决抽取(分配)问题时，当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法；当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 练习2.用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．648 本题的关键点在于准确理解有重复数字的三位数，可采用间接法. 二、排列组合 排列组合是组合学最基本的概念.所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序.组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序.排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数，排列组合与古典概率论关系密切. 例2.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A．8种 B．16种 C．18种 D．24种 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 练习4.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有( ) A．504种 B．960种 C．1108种 D．1008种 特殊元素或特殊位置问题，即“在”与“不在”问题求解时可从下面三个角度去考虑.(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．（3）注意：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误． 练习5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A．24 B．14 C．28 D．48 有限制条件问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，可采用排除法． 练习6.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法种数为( ) A．30 B．21 C．10 D．15 分组分配经常采用“隔板法”：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． 三、二项式定理 二项式定理是计数原理应用的进一步深化，它可以看做是组合的直接运用.二项式定理中的问题一方面考察对定理自身的认识，如项、系数等利用通项可以求解的问题；另一方面是对它的应用，如用二项式定理研究整除问题；还可以将二项式定理和其它知识相结合进行考察. 本题考查二项式定理的应用，解答本题的关键是利用二项式的展开式求出余数，本题将问题转化为求余数的问题，使得解题变得容易，运算得到了化简．利用二项式定理求余数是其一个重要运用，题后总结本题的转化变形规律． 计数问题是一个比较复杂的数学问题，它对于思维的要求较高，其中一些特殊的模型又有其规律性，如果能够正确识别模型，在解题时准确转化，可以起到事半功倍之效.这里限于篇幅，有许多问题没有介绍到，可参阅一轮复习资料篇. |
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