|
滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！
正确选择定理 提升解题效率 解三角形问题中,虽然教材中给出了正弦定理和余弦定理的适用范围,但对于一些综合性问题，两个定理都能用，是选用正弦定理还是余弦定理,关系到解题方法的优劣.有很多同学即使熟知这两个定理,在解决具体问题时，也经常不知道选择哪个更好,不能灵活转化，从而使问题复杂化,所以正确选择正弦定理和余弦定理是解这类问题的关键，这里给出一道模拟试题进行说明.
这道试题出自于公众号【第667期】17题. 首先分析题目中的已知条件有两个，一是锐角三角形，可看作对角的限制；二是三个内角之间的关系，考虑到三个角都出现，而且后面是两个角的三角函数值得乘积，可利用三角形内角和定理将将角A用B+C换掉，然后利用三角恒等变形即可得到B=C，判断出三角形的形状.这样（1）就很自然的得到证明.问题的关键在于（2），看到求三角形的外接圆面积，就想到正弦定理求外接圆半径，已知角A的正弦值，求得对边长即可，这要借助（1）中的结论和（2）中给出的三角形周长寻找关系.具体的过程需要在解题时进一步完善. 
这里的思路比较顺畅，利用正弦定理将周长直接用外接圆半径表示出来，然后结合已知条件求出相应角的正弦值带入即可求得半径.细心的同学会发现求角B的正弦值不是很方便，实质上在求解的过程是通过解方程组得以实现，而且涉及到范围的判断，答案看似简单，难点不易突破.
解法二利用余弦定理求得了三边关系，根据周长求得已知角对应的边长，然后根据正弦定理找出外接圆的半径，实现问题的求解.整个过程自然顺畅，难度不大，应该是本题的正解.
解法三利用三角恒等关系求得其它两个未知角的正弦值，回避了解法一的方程组法求解.同时用好了正弦定理直接利用周长求得外接圆半径，减少了余弦定理的运用，使得运算量得到控制，提升了解题效率.
|
