探索解析几何中集中体现的数学思想方法 ...

探索解析几何中集中体现的数学思想方法
运算中自觉运用数学思想方法，不但有利于提高学生的思维水平，而且有利于运算的合理剪辑，从而提高运算的正确性和速度。因此，应加强以数学思想方法指导运算的意识。中学数学在解析几何中常见的数学思想，有数形结合的思想，函数与方程思想，分类与整合的思想，规划与转化的思想，常见的方法有解析法，待定系数法，换元法，参数法。
1.解析法与综合法
我们知道中学几何中的综合法是处理几何问题的一种常用方法，他借助图形的直观形象，依据基本的逻辑原理（同一律、矛盾律，排中律等） ，不使用其他工具，从基本事实（公设、公理）出发，通过演绎推理，导出一系列定理和结论，而解析法是通过建立坐标系，把几何中的点与代数的基本研究对象数（数组）对应，建立图形（曲线）与方程的对应，从而把几何与代数紧密结合起来，用代数方法解决几何问题。
相比之下，用综合法解决问题时，有其形象直观便于思考等好处，但是因为综合法要依赖于图形及其几何性质，因此，也有其不便之处:七一是对有些问题要分情况证明。例如，证明“三角形三条高交于一点”这一问题，就需分直角三角形，锐角三角形，钝角三角形三种情况证明。而且新法的证明由于字母可以代表各种情形的数，所以对直角三角形锐角三角形钝角三角形三种情况可以统一处理，而不必加以区分。其二是综合法需要很强的技巧，缺乏规律性，尤其是在处理一些较为复杂的问题时，关键往往是要添加辅助线才能证明。显然，添加辅助线的思考难度是很大的因题，而异技巧性强，没有普遍可用的方法。而且新房有固定的程序和方法，具有普适性和一般性，其关键是建立恰当的坐标系，把几何元素用坐标表示，进而把几何条件用坐标关系给出经过代数运算得到结果，再解释结果的几何意义。当然，解析法也有其不足的地方，对于某些问题，虽然有思路可循，步骤清楚，但计算量大，比较繁琐，甚至得不到结果。
因此，要善于把两种方法结合起来用。战用解析法解决几何问题时，要善于利用几何中的结论，再用综合法解决几何问题时，也可结合解析法处理，并有意识，有计划的安排，相应的问题要求学生对两种方法进行比较，比较两种方法的利弊，提高他们解决问题的能力。
此外，韩英认识到解析法的功用，不仅是为几何问题的研究和问题解决提供了一种方法，而且是为研究自然现象提供了数学工具——通过方程来研究物体运动的轨迹曲线，为用微积分研究自然现象准备了条件，这是综合法，与之无法相比的。
有人生动形象地将综合法比做“乘公共汽车”，将解析法比作“乘地铁”，一指乘公共汽车，虽然慢一些，但是可以一览沿途的景致，地铁虽快，但完全看不到地面上沿途的景致，只有等到达到目标后才能走上地面。
2.解析结核是数与形结合的典范
塑形结合思想的应用，大致可以分为以下三种情形:第一，借助于形的直观性来阐述数之间的某种关系，即“以形助数”；第二，借助于术的精准性来阐述型的某些特征，即“以数解形”；第三，在同一道题中，既要用到“以数解形”也要用到“以数助形”，即“数形互助”。总而言之，数形结合就是在处理问题的过程当中，把数与形结合起来考察， 根据问题的具体内容，把数量关系的问题转化为图形性质的问题，或者是把图形性质的问题转化为数量关系的问题，是抽象问题，具体化复杂问题，简单化化难为易获得更简单易行的方法。
解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，他沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想。解析几何是数与形结合的典范，笛卡尔通过坐标建立点与有序数组之间的一一对应关系，给出了“位置”量化的具体方法，是数形结合思想方法的基本出发点。
我们知道解析几何的创立是数学史上变量，数学的第一个里程碑，法国数学家笛卡尔和费马研究的出发点不同，但却殊途同归。笛卡尔在他1637年发表的著作“科学中正确运用理性和追求真理的方法论”的附录《几何学》中，叫全面的提出了解析几何的基本思想和观点:引进坐标的概念，借助坐标建立点与数组之间的一一对应关系。进而将曲线看作是动点的轨迹，用变量所适合的方程来表示。费马也提出:还含有两个未知数的方程，总能确定一个轨迹，并根据方程描绘出曲线。费马也提出:凡含有两个未知数的方程，总能确定一个轨迹，并根据方程描出曲线。这也正是解析几何的基本思想方法——通过坐标系的建立，将几何的基本元素点和代数的基本研究对象数建立一一对应关系，在此基础上，建立起曲线或曲面与方程之间的对应关系。