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已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）． （1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间； （2）若函数y=f（x）在(0,1/2)上无零点，求a的最小值． 解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx， ∴g′（x）=3﹣a﹣2/x， ∴g′（1）=1﹣a， 又g（1）=1， ∴1﹣a=(1-)/(1-0)=﹣1，解得：a=2， 由g′（x）=3﹣2﹣2/x=(x-2)/x＜0，解得：0＜x＜2， ∴函数g（x）在（0，2）递减； （2）∵f（x）＜0在(0,1/2)恒成立不可能， 故要使f（x）在(0,1/2)无零点，只需任意x∈(0,1/2)，f（x）＞0恒成立， 即对x∈(0,1/2)，a＞2﹣2lnx/(x-1)恒成立， 令l（x）=2﹣2lnx/(x-1)，x∈(0,1/2)， 则l′（x）=(2lnx+2/x-2)/(x-1)2， 再令m（x）=2lnx+2/x﹣2，x∈(0,1/2)， 则m′（x）=-2(1-x)/x＜0，2 故m（x）在(0,1/2)递减，于是m（x）＞m（1/2）=2﹣2ln2＞0， 从而l′（x）＞0，于是l（x）在(0,1/2)递增， ∴l（x）＜l（1/2）=2﹣4ln2， 故要使a＞2﹣2lnx/(x-1)恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）， 综上，若函数y=f（x）在(0,1/2)上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2． 考点分析： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 题干分析： （1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可； （2）问题转化为对x∈（0，1/2），a＞2﹣2lnx/(x-1)恒成立，令l（x）=2﹣2lnx/(x-1)，x∈（0，1/2），根据函数的单调性求出a的最小值即可． |
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