【原】【高考数学】每日一题：第696题，立体几何有关的题型

典型例题分析1：

如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=√2，SA=SC=SD=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．

证明：（1）取AC中点O，连结OD，SO，

∵SA=SC，

∴SO⊥AC，

∵AD=CD，

∴OD⊥AC，

又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD=O，

∴AC⊥平面SOD，

∵SD⊂平面SOD，

∴AC⊥SD．

（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，

∴△ASC是等边三角形，

∴AC=2，OS=√3，

∵AD=CD=√2，

∴AD2+CD2=AC2，

∴∠ADC=90°，OD=AC/2=1．

∵SD=2，

∴SO2+OD2=SD2，

∴SO⊥OD，

又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD=O，

∴SO⊥平面ABCD，

∴V棱锥B﹣SAD=V棱锥S﹣ABD

=1/3·S△ABD·SO

=1/3×1/2×AD×CD×SO

=√3/3．

考点分析：

空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积．

题干分析：

（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；

（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，利用勾股定理的逆定理可证明AD⊥CD，SO⊥OD，故而SO⊥平面ABCD，代入体积公式计算即可．

解题反思：

本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

典型例题分析2：

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=2，AC=2√2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1/3．

（1）证明：PQ∥平面ABC；

（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为2√15/15，求∠BAC的大小．

考点分析：

直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（1）设AB=a，BC=b，以B为坐标原点建立坐标系，为平面ABC的一个法向量，求出坐标，通过证明向量积等于0得出PQ∥平面ABC；

（2）求出向量和平面ABM的法向量，令|cos＜，＞|=2√15/15得出a，b的关系，结合a2+b2=8得出a，b的值，从而确定∠BAC的大小．

解题反思：

题考查了线面平行的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．