【原】【高考数学】每日一题：第736题，抛物线有关的综合题讲解

典型例题分析1：

已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（　　）

A．±√3/3

B． ±3/4

C．±1

D．±√3

解：抛物线的焦点为F（p/2，0），准线方程为x=﹣p/2．

∵点M到焦点F的距离等于2p，

∴M到准线x=﹣p/2的距离等于2p．

∴xM=3p/2，代入抛物线方程解得yM=±√3p．

∴kMF=yM/（xM－p/2）=±√3．

故选：D．

考点分析：

抛物线的简单性质．

题干分析：

根据抛物线的性质可求出M的横坐标，带诶抛物线方程解出M的纵坐标，代入斜率公式计算斜率．

典型例题分析2：

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为； 若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±√3，则此双曲线的方程为．

解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，

∴p=4，

∴抛物线C的方程为y2=8x；

抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，

∵渐近线方程为y=±√3x，

∴b/a=√3，

∴a=1，b=√3，

∴双曲线的方程为x2－y2/3=1．

故答案为：y2=8x；x2－y2/3=1．

考点分析：

抛物线的简单性质．

题干分析：

利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．

典型例题分析3：

已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：|OD|/|OM|＞2．

考点分析：

抛物线的简单性质．

题干分析：

（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为y=k（x－p/2）（k≠0）．与抛物线方程联立可得：k2x2－（k2p+2p）x+k2p2/4=0，由直线OA与OB的斜率之积为﹣p，即y1y2/x1x2=-p．可得：x1x2=4． 利用根与系数的关系即可得出．

（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为y=kopx=2kx/（k2+2），代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．

▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽