2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（四）

2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（四）

　　22、（山东理）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

 

　　（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

 

　　（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

 

　　【解答】(I)由题意设椭圆的标准方程为

 

　　，

 

　　

 

　　 (II)设，由得

 

　　，

 

　　，.

 

　　

 

　　

 

　　以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

 

　　，，

 

　　，

 

　　，解得

 

　　，且满足.

 

　　当时，，直线过定点与已知矛盾；

 

　　当时，，直线过定点

 

　　综上可知，直线过定点，定点坐标为

 

　　23、（全国2理）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（  B  ）

 

　　A．                B．              C．              D．

 

　　【解答】设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90?，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。

 

　　24、（全国2理）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（    ）

 

　　A．9                     B．6                     C．4                     D．3

 

　　【解答】设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，

 

　　∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。

 

　　25、（全国2理）（本小题满分12分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

 

　　（1）求圆的方程；

 

　　（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．

 

　　【解答】（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，

 

　　       即    ．

 

　　       得圆的方程为．

 

　　（2）不妨设．由即得

 

　　       ．

 

　　设，由成等比数列，得

 

　　       ，

 

　　即    ．

 

　　      

 

　　                

 

　　由于点在圆内，故

 

　　由此得．

 

　　所以的取值范围为．

 

　　26、（全国2文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（    ）

 

　　A．                   B．                C．                  D．

 

　　【解答】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。

 

　　27、（全国2文）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（    ）

 

　　A．               B．             C．                D．

 

　　【解答】设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=，选B。

 

　　28、（全国1理）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）

 

　　A．          B．           C．          D．

 

　　【解答】已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c=4，a=2，，双曲线方程为，选A。

 

　　29、（全国1理）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）

 

　　A．            B．               C．                     D．

 

　　【解答】抛物线的焦点F(1，0)，准线为l：，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2)，，垂足为K(－1，2)，∴ △AKF的面积是4，选C。

 

　　30、（全国1理）（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

 

　　（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

 

　　（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．

 

　　【解答】（Ⅰ）证明：椭圆的半焦距，

 

　　由知点在以线段为直径的圆上，故，

 

　　所以，．

 

　　（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

 

　　设，，则

 

　　，

 

　　；

 

　　因为与相交于点，且的斜率为，

 

　　所以，．

 

　　四边形的面积

 

　　．

 

　　当时，上式取等号．

 

　　（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

 

　　综上，四边形的面积的最小值为．

 

　　31、（海南、宁夏理）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（　C　）

 

　　Ａ．            Ｂ．

 

　　Ｃ．         Ｄ．

 

　　【分析】：由抛物线定义，

 

　　即：．

 

　　32、（海南、宁夏理）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．3

 

　　【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：

 

　                    　

 

　　33、（海南、宁夏理）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．

 

　　（I）求的取值范围；

 

　　（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

 

　　【解答】（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，

 

　　代入椭圆方程得．

 

　　整理得　　　①

 

　　直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

 

　　解得或．即的取值范围为．

 

　　（Ⅱ）设，则，

 

　　由方程①，．　　　②

 

　　又．　　　　③

 

　　而．

 

　　所以与共线等价于，

 

　　将②③代入上式，解得．

 

　　由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．

 

　　34、（辽宁理）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（    ）

 

　　A．              B．           C．             D．

 

　　【解答】因为，设，根据双曲线定义得，所以，，为直角三角形，其面积为，选B

 

　　35、（辽宁理）设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=        ．

 

　　【解答】椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M（，所以

 

　　36、（辽宁理）（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

 

　　（I）求圆的方程；

 

　　（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

 

　　【解答】本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．

 

　　（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知

 

　　．

 

　　解得，

 

　　所以，或，．

 

　　设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为

 

　　．················ 4分

 

　　解法二：设两点坐标分别为，，由题设知

 

　　．

 

　　又因为，，可得．即

 

　　．

 

　　由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．

 

　　设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为．···· 4分

 

　　（II）解：设，则

 

　　．········ 8分

 

　　在中，，由圆的几何性质得

 

　　，，

 

　　所以，由此可得

 

　　．

 

　　则的最大值为，最小值为．