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圆锥曲线中离心率的求解

编辑:admin 日期:2011-5-9 9:28:07 浏览:0 来源:

                                            冯婷

    离心率是圆锥曲线中一个非常重要的基本量，它可以用来统一定义和刻画圆锥曲线，因此在解析几何问题中往往涉及到离心率的计算和讨论等。对于解析几何习题，若能将题中条件与离心率巧妙地联系起来，往往可以使得解题过程简化，起到计算简便的功效。离心率的求解通常情况下有以下几种方法：

一、根据离心率公式，通过基本量的计算直接求离心率
若根据题目已知条件可以求得的值或者是三者之间的关系，那么可以根据离心率的定义直接求得。
例1 （08年浙江高考）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为，则双曲线的离心率是（    ）
A. 3              B. 5              C.               D.
解：根据双曲线定义可知，双曲线两个焦点的坐标为，准线方程为。由题意可知，
由此可得，，则，故选D。
例2 （09江西文）设和为双曲线的两个焦点, 若是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(    ) w.          
  A.             B.             C.                D.  3
解：由题意可知，的坐标为。而三点是正三角形的三个顶点，由正三角形的性质可知，，则，
，故选B。
例3 （09全国Ⅰ理）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于(   )
A.            B. 2            C.             D.           
解：双曲线的渐近线方程为。而，则抛物线上点处切线的斜率为。由题意可知，在抛物线上存在点，使得
，解得，则
，故选C。

二、数形结合
在较复杂的题型中，若根据题目条件无法直观判断的值或者是三者之间的数量关系时，可以借助图形来帮助我们梳理题目条件从中等到等量或不等量关系，从而求得离心率。
例4 （09浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 (    ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
A．               B．              C．               D．

解：由题意可知，点坐标。则过斜率为的直线方程为。而双曲线的渐近线方程为，由此可以联立方程
，解得该直线与渐近线的交点坐标为
由图可知，点坐标，点坐标，则

，解得
，故选C。
例5 （10年四川文）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）
A．            B．           C．            D．

解：由题意可知，。线段的垂直平分线过点，则
而，于是，即
，解得
而，故选D

三、运用向量、三角形、不等式等知识点帮助求解离心率
若题目条件中给出了角度等相关信息时，往往需要结合向量、三角形、不等式中的相关知识点来帮助求解离心率，如数量积，向量平行或垂直，余弦定理，基本不等式等等。
例6 已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是             。
解：注意，由于本题没有对椭圆位置做出说明，因此为确定坐标，需要对椭圆焦点位置进行讨论。设点坐标为
（1）若椭圆焦点在轴上时，设椭圆标准方程为，此时坐标为，则
，即，所以点在以原点为圆心为半径的圆内。而点总在椭圆内部，，即，解得
，即
（2）若椭圆焦点在轴上时，设椭圆标准方程为，此时坐标为，则
，即，所以点在以原点为圆心为半径的圆内。同理也可得，。
综上所述可得，椭圆离心率的取值范围是。
例7 （08全国高考）在中，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆离心率=              。

解：如图，以中点为坐标原点，所在直线为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系。
设椭圆标准方程为，则。，由余弦定理可得，。
而点在椭圆上，由椭圆定义可知，
例8 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线距离为，并且为与的等比中项，求双曲线离心率的取值范围。

解：如图，设点，由双曲线第二定义可知，，而。由题意可得，代入得

解得，
因为点在双曲线左支上，，即
解得，