【原】【高考数学】每日一题：第747题，正弦有关的综合题讲解

典型例题分析1：

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足a（1﹣cosB）=bcosA，c=3，S△ABC=2√2，则b=．

解：由正弦定理得，sinA（1﹣cosB）=sinBcosA，

∴sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），

∵A+B=π﹣C，

∴sinA=sinC，即a=c=3，

∵S△ABC=1/2·acsinB=2√2，

∴1/2×3×3×sinB=2√2，

解得sinB=4√2/9，

∴cosB=±√（1-sin2B）=±7/9，

由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，

当cosB=7/9时，b2=9+9﹣2×9×7/9=4，解得b=2，

当cosB=﹣7/9时，b2=9+9+2×9×7/9=32，解得b=4√2，

∴b=4√2或2，

故答案为：4√2或2．

考点分析：

正弦定理．

题干分析：

由正弦定理、两角和的正弦公式等化简所求的式子，由正弦定理和条件求出a的值，利用三角形的面积公式求出sinB，由平方关系求出cosB，由余弦定理求出b的值．

典型例题分析2：

在△ABC中，BC=2√2，AC=2，且cos（A+B）=-√2/2．

（Ⅰ）求AB的长度；

（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线y=√3/2相邻交点间的最小距离．

解：（Ⅰ）∵cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=√2/2，

∴C=45°．

∵BC=2√2，AC=2，

∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=（2√2）2+22-8√2cos45°=4，

∴AB=2．

（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+π/4）=√3/2，

解得2x+π/4=2kπ+π/3或2x+π/4=2kπ+2π/3，k∈Z，

解得x1=k1π+π/24，或x2=k2π+5π/24，k1，k2∈Z．

因为|x1﹣x2|=|（k1﹣k2）π+π/6|≥π/6，

当k1=k2时取等号，

所以 当f（x）=√3/2时，相邻两交点间最小的距离为π/6．

考点分析：

两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．

题干分析：

（Ⅰ）利用诱导公式求得cosC，可得C的值，咋利用余弦定理求得AB的长度．

（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+C），求得x1、x2的值，可得|x1﹣x2|的最小值．

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