解答2020IMO第一题

2020年IMO的考试于前天和昨天在线上举行，今年的举办方是俄罗斯。每天三个题目在四个半小时内完成，各国根据自己的地理位置选择具体的考试时间。考试题理论上今天凌晨才能公布，不过昨天网上已经在传播前三个题目了。现在题目已经全部出来，六道试题中组合题目比较多，这很“俄罗斯”，因为组合是俄罗斯传统强项。

只有第一题是纯几何题目。题目为：

已知：P在凸四边形ABCD中，且满足：

∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.

证明：∠BCP和∠PDA的角平分线及AB的中垂线三线共点。

看到此题，我的第一感觉是条件有点复杂，准确图形不易画。只能先画出如下一个草图，然后考虑如何根据题意画出准确的图形。

下面应该尽可能的把已知条件标到图形上，不妨设∠CBP=α，则∠BAP=2α，∠BPC=3α.

对称的设∠PAD=β，则∠PBA=2β，∠DPA=3β。

这就是图形需要满足的全部已知条件了。不难发现，CD可以不连接。

如何准确的作图呢？

此四边形不是任意四边形，不好刻画，

最自然的思路是最好能把条件转化到某个三角形中，

以三角形为奠基，构造图形。

毕竟三角形是最好刻画也是大家最熟悉的。

稍加观察和思考，即可发现，可以从△ABP出发构图，

对任意锐角三角形ABP，设∠BAP=2α，∠PBA=2β，

在其外侧作出点C，D，满足∠CBP=α，∠BPC=3α.

∠PAD=β，∠DPA=3β。

这样本题的准确图形即作出来了。

下面从结果入手，作出∠BCP和∠PDA的角平分线和AB的中垂线，

如何证明此三线共点呢？

两个角平分线具有对称性，自然的思路是证明两个角平分线交点O满足OA=OB，

O点似乎不好描述，要强行计算三线共点似乎也不容易。

那只能进一步挖掘点O的性质，考虑加强本命题了。

在准确的图形中，点O已经满足OA=OB,自然的思路是会不会还有更好的类似性质，

即OA=OC是否成立呢？

想到此处，在图形中一验证，发现确实成立！

这就只需要说明△ABP外心O在两个角平分线上即可。

这是容易的，不难由共圆和等弦得到。

最终证明过程如下：

设△ABP外心为O，

则∠BOP=2∠BAP=

∠CBP+∠CPB=180°-∠BCP,

故BCPO共圆。

又OB=OP,

则CO为∠BCP角平分线。

对称的，有OD为∠ADP角平分线。

从而∠BCP和∠PDA的角平分线和AB的中垂线三线共点于O。

从上面分析及证明过程看，本题难度不高，证明过程很简洁，辅助线很少，甚至初中生都能轻松解决。所以估计大多数参赛学生都能作出来。证明本题的关键是发现三线所共的点O为△ABP外心。所谓的“无巧不成题”，竞赛题目中往往会把一些重要的条件隐藏起来，需要加强命题才能顺利解决。大胆猜测、小心验证，是做题的常见手法。

本题的已知条件比较对称，还算美观。不过美中不足之处是条件有点多，相当于给出了四个条件，而结论只有一个条件。所以感觉有些“浪费”，所以应该可以考虑推广和加强本题，最好能得到一个三线共点的相对美观的充要条件。有兴趣的读者可以进一步探讨。