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★★★ 特别提醒 ★★★ 原创不易，转载请先获得授权，并注明出处。 垂径定理，应该是大家比较熟悉的“圆”的一个重要性质了。 应该还记得，在圆的问题中，但凡是遇到圆中涉及弦的问题，我们都会选择弦的中点，利用垂径定理得到直角三角形。 那么，什么是垂径定理？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦和弦所对的弧。 其实，我们平时更多的是说圆的任意一条弦的中点与圆心的连线垂直平分弦。 从高中解析几何的角度来描述，可以表达成这样： 设点A,B是圆O上两点，若AB的中点为M，当斜率存在时，有kAB·kOM=-1. 所以，从某种程度来说，垂径定理本质应该是圆的中点弦问题了。 我经常也将圆的任意一条直径，所对的圆周角为直角也视为垂径定理的。 你知道为什么吗？ 取PA中点M 则OM⊥PA 又显然OM∥PB 则PB⊥PA 其实，作为一名高中生，除了圆的垂径定理，我们更应该知道，圆锥曲线也是有垂径定理的。 要说原因，来源于教材中的这样一个例题： 【人教版高中数学·选修2-1：P41例3】
其实这题也确实是挺简单的，因为按照解析几何的基本思想，直译就OK了！
因为求轨迹方程的过程，几乎每一步都是做等价变形的，所以，也意味着，这个结论反之也是应该会成立的吧 ？ 于是课堂上，我便给出了这个思考：椭圆上任意一点与长轴两个端点的连线斜率之积为定值么？ 并且进一步，给出了下面这两个变式题：
变式②中的“点差法”，其实还是很重要的。一般来说，如果题中涉及到弦的中点及斜率时，都是可以考虑按照这个过程去操作的。 当然，直译的代价，便是很烧脑的化简过程了。 所以很多的孩子，看到了这里设而不求的“点差法”，脸上便绽放着恍然大悟的惊喜。 其实，进一步分析下两个变式的关系，如果在变式②中，按照下图做个点A关于原点的对称点，变式①和变式②本质上其实是一样的。 这是不是就象圆当中，“垂径定理”和“直径对直角”的关系了呢！
我们都知道，圆应该可以看成椭圆焦距为0时的特殊情形了，其实说的更亲近些，圆就是退化了的椭圆呗。 因此，对于圆来说，a是等于b的。 于是根据椭圆的这个特殊性质，圆中便也有了斜率之积为-1这样的结论，也就是以前所说的所谓的垂径定理了。 那是不是可以说，圆锥曲线的这个结论，才是真正的垂径定理呢。 嗯嗯，也确实，圆中所谓的垂径定理实在是太小儿科了。 1
其实今天说这个垂径定理，一方面是觉得教材中的这个例题，应该是很隐晦的告诉我们，垂径定理是高中生应该熟练掌握的，最起码要掌握它的推导过程。 而另一方面，更为重要的是，因为双曲线的方程和椭圆极具相似性，在双曲线中也有着类似这样的结论。 双曲线中的垂径定理：
如果这组结论也成立的话，这个垂径定理，也确实是太重要的了。 其实，这个垂径定理的证明过程，脑补一下，和椭圆也应该是相象的。有兴趣的可以自己类比着证明下。 只是两个结论的相似度，实在是太高了！为防止有时脑子会糊涂记错，我一般是这样记忆的：
虽然也许并没有太多的道理，但用来记住这个结论，应该还算是可以的。 1
不能不提一下抛物线。 同为开放性曲线，因为没有了对称中心，抛物线虽然没有了这个美好的垂径定理，但也有一个还算类似的结论。
从这个动图中，你能看出这个定值是谁么？
这个结论的证明，还是利用“点差法”吧。
从这个定理的结论中，我们还可以得到一个很好的推论： 一束平行线与抛物线相交所得的弦，中点都在同一条水平直线上。 1
好了，现在可以总结下这组“垂径定理”了。 ① 有心圆锥曲线（圆、椭圆和双曲线）
② 无心圆锥曲线（抛物线）
有了这组结论，我们就可以肆无忌惮地处理圆锥曲线中的中点弦问题了。 但还是要郑重提醒那些片面追求解题技巧的孩子，这组结论原则上是不能直接使用的，使用时一定要先进行简单的证明哦。 所以，还是要很好地体会定理的得出过程的。 当然，客观题中，就真的可以毫无顾忌了。
01 客观题结果秒杀
说明： 双曲线的渐近线可以看成退化的双曲线处理。 1
02 主观题过程优化
1 这个题，特地用了三种方法。 其实，是想让同学做个比较，不过我觉得还是垂径定理的应用比较好。 至于它的证明过程，虽比不上“点差法”的优美，但也还是一帆风顺的。 所以，我后面的题，基本都是方法三了。
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