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解析视频 习题解答 相关小结 “多元函数最值的应用之不等式证明”题型的求解思路以及相关的知识点： 1．可微函数取极值的充分条件 定理设n元函数f(X)在点X0处具有二阶连续偏导数，且 记H(X0)为f(X)在点X0处的黑塞矩阵． (1) 如果H(X0)正定，则X0为f(X)的极小值点； (2) 如果H(X0)负定，则X0为f(X)的极大值点； (3) 如果H(X0)不定，则X0为f(X)的鞍点； (4) 其他情况需要另行判定(半正定，半负定)． 2．二元函数极值判定的充分条件 定理设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处具有二阶连续的偏导数，且 并记 则有 (1) 如果A>0，且AC-B2>0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极小值； (2) 如果A<0，且AC-B2>0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极大值； (3) 如果AC-B2<0，则f(x,y)在(x0,y0)处不取极值． (4) 其他情况需要另行判定。 3．条件极值的求解方法 条件的极值问题的求解方法为无条件化的方法： (1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，如果由g(x,y)=0可以解出y=y(x)，则可以将条件极值问题求解转换为一元函数的无条件极值问题，即求f(x,y(x))的极值。 (2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，可以通过令拉格朗日辅助函数 L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)， 转换为求L(x,y,λ)的无条件极值问题的必要条件得到，其中参数λ称为拉格朗日乘子．并这种将求条件极值问题转化为求拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法． (3) 多自变量多条件的拉格朗日乘子法 对于求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数． L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)， 将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度为0，即 对于求函数f(x,y,z)在条件g1(x,y,z)=0与g2(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数 将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为 4．闭区域上连续多元函数最值的求解步骤 第一步：找目标函数，确定定义域及约束条件； 第二步：找出所有可能的驻点，驻点包括由区域内部利用无条件极值得到的驻点和边界上由条件极值得到的驻点； 第三步：比较所有驻点的函数值，同时还需要考虑边界曲线的端点或者说尖点位置的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值；另外也根据问题的实际意义来确定最值。 相关推荐 基本理论、方法，更多题型、例题参见： |
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