【原】你确定你的极限计算的思路、得到的结果是正确的吗？

考研竞赛数学 2020-10-09

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在高等数学、数学分析课程学习中，极限既是整个课程内容的基础，也是求解问题，构建数学模型重要的工具，当然也是课程相关内容考试的重点、难点、必考点！

那么，在探索极限计算的过程中，如何知道咱们的思路探索的方向是正确的，过程、步骤是否是正确、有效的呢？又如何检验咱们极限计算得到的结果是正确的呢？

本文介绍两个相对直观的实现方法，其描述形式与咱们日常课程中学到的描述类似，简单、直观，有效，而且还可以对含有参数的极限对参数进行讨论，对抽象函数极限的计算也能给出正确的结果，同样对于多元函数也能计算多重极限并讨论极限的存在性。

文章包含三个主题：

极限计算网页或手机APP版WolframAlpha

在打开的网页中实现一元函数、数列和多重极限的计算与极限存在性的判定，该方法也适用于手机WolframAlpha APP，APP程序可以在咱号配套的QQ群文件分享里下载，也可以自行百度搜索下载！

电脑版数学软件Mathematica

电脑数学软件Mathematica中实现函数、数列极限的计算方法、选项设置实例演示。

二重极限不存在判定实例演示

【注】 基本运算符：Mathematica中的直接代码输入的运算符和C语言基本一致，分别为加法（+），减法（-），乘法（*，或空格），除法（/），乘方（^，【Shift】键+【6】输入）。Mathematica中的表达式都是在半角英文状态下输入！

一、极限计算网页或手机APP版：WolframAlpha

这个方法是借助于Wolfram公司开发的计算搜索引擎WolframAlpha来实现极限的计算，具体操作步骤与实例如下。【注意：公式、代码内容显示不完整时，在内容上左右滑动显示完整内容】

打开浏览器，输入网址：

http://www.

打开的WolframAlpha知识计算引擎页面就一个搜索编辑框（或手机WolframAlpha APP），如下图所示。

在搜索编辑框中直接以自然语言方式输入需要计算的极限，点击右边的等号按钮，或者直接按下回车键，执行计算，得到结果。注意，不要管语法，只要能够表达涵义，既使有个别错误都没关系，一般它都会自动纠正得到可能正确的结果。当然能够描述准确更好，尤其是层次关系要用括号描述清楚，不然容易混淆，得不到理想的结果！

例1：计算函数极限

在上图中的蓝色框住的文本编辑框中输入：

limit (sqrt(1+x)+sqrt(1-x)-2)/(x^2) as x->0

按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后得到不仅得到极限结果，还会显示极限式中函数的图形，在下面还给出函数带皮亚诺余项的泰勒公式。如上图所示。

例2：计算函数的单侧极限

在搜索文本编辑框中输入：

limit e^(1/(1-x)) as x->1+

按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图。不仅给出了右极限，同时在下面也给出了左极限，根据下面给出的函数图形还可以直观考察函数图形的变化性态。

例3：计算抽象函数极限

在搜索文本编辑框中输入：

lim (f(x+h) - f(x) ) / h as h->0

按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果显示为f'(x).

例4：计算数列的极限

在搜索文本编辑框中输入：

limit (sum 1/(3k-2)+1/(3k-1)-2/(3k) from 1 to n) as n->infinity

按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图。

这个结果比直接在数学软件里面计算显示的结果更理想！参考以上实例，只要咱们的极限式不需要设置、讨论更复杂的参数，一般都可以正确得到结果。

例5：计算二重极限

(1) 在搜索文本编辑框中输入：

limit ln(x+e^y)/sqrt(x^2+y^2) as (x,y)->(1,0)

按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图，显示极限结果为ln2。

(2) 在搜索文本编辑框中输入：

limit x y/(x^2+y^2) as (x,y)->(0,0)

按下回车，或者点编辑框右边的等号键，则自动开始计算。计算后的结果如下图。显示计算结果为极限不存在，极限与路径是相关的。

二、电脑版数学软件Mathematica

直接在数学软件Mathematica环境中计算与验证极限。基本命令及使用格式：一元函数的极限：

Limit[f[x],x->x0]

多重极限：

Limit[f[x1,x2,…,xn],{ x1,x2,…,xn }->{ x10,x20,…,xn0}]

注意Limit第一个字母必须大写。用于求自变量x趋于x0的函数f[x]的极限，函数表达式中的其他符号为常数，其中变化过程可以设置为固定的值x0，也可以直接输入+Infinity，正号可以省略，或-Infinity，其中Infinity也可以直接用快捷键输入为无穷大符号，快捷键输入方式两种，一种是【Esc】inf【Esc】，一种是“\[Infinity]”。以上计算如果x趋于正无穷大也表示数列求极限。

可以设置的选项设置主要包括三个选项，分别为

Direction：默认求双侧极限，可以更改它的值可以取为+1或-1，其中取为+则表示自变量增大的方向，所以取左极限，可以用参数值“"FromBelow"”(注意是英文状态下的双引号括起来的参数)代替；取-1表示自变量减小的方向变化，所以计算得到右极限，可以用参数值“"FromAbove"”代替。
Assumptions：用来设置假设选项，即如果函数表达式中包含有参数时，设定参数所满足的条件来执行极限计算。
Analytic：以解析形式计算函数的极限，对于用抽象函数求极限。默认情况下不以解析形式计算极限，即该参数的值为False，则对于抽象函数的极限可能不会执行计算，而我们自己以传统方式计算的话是可以求极限的，因此我们可能需要将其参数值设置为True。

【注】 如果计算结果显示为Indeterminate，则表示不存在，如果计算后显示的极限式，没有极限值结果，则表示Mathematica计算不出来。毕竟软件不是万能的，对于有些极限式可能我们需要将计算式进行适当变换后才执行计算。

例1 计算以下7个极限：

在Mathematica中一次性输入如下表达式，回车换行

Limit[Sin[x]/x,x->0]Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]Limit[1/x,x->0,Direction->-1]Limit[1/x,x->0,Direction->1]Limit[a^x,x->Infinity]Limit[a^x,x->Infinity,Assumptions->a>1]Limit[a^x,x->Infinity,Assumptions->0<a<1]Limit[(f[x-3h]-f[x])/h,h->0,Analytic->True]

按下电脑键盘主键盘区的【Shift】+【Enter】执行计算即可得到以上积分的结果。在Mathematica笔记本中显示更直观的输入和结果如下图。

【注】 以上输入的表达式可以直接输入到WolframAlpha知识计算引擎的搜索编辑框执行计算，得到的结果一样，当然会附带其他一些扩展性的结果。

例2 极限函数的极限

在Mathematica中输入如下表达式并执行，得到极限值为2.

Mathematica中对应的文本输入表达式为

Limit[1/Sqrt[n] Integrate[Log[1+1/Sqrt[x]],{x,1,n}],n->Infinity]

可以直接复制到Mathematica中执行得到结果。

例3：计算数列的极限

在Mathematica中输入的表达式及计算结果显示如下图：

直接计算的结果为特殊函数描述的数值，为了转换为常见函数描述的表达式并化简结果，第二次输入的后面加上了两个函数，一个是FunctionExpand，将复杂表达式尽可能展开为简单函数描述，Simplify的作用则是化简计算结果，最终得到的结果才是之前WolframAlpha直接计算的结果ln3。

以上输入在一定程度上还不够贴近咱们的教材极限描述形式，借助快捷输入方式，咱也可以让Mathematica中的极限式描述基本和教材完全一致。下面用文字描述说明最后一个极限式（如下为最终效果）描述的输入过程：

按一下【Esc】键，输入lim，再按一下【Esc】键，则输入极限符号lim，然后按下【Ctrl】键不放，再按一下【4】，在lim下方创建一个输入占位符，输入n->，按一下【Esc】键，输入inf, 再按一下【Esc】键，输入无穷大符号，按一下向右的箭头键，将输入位置移动到求极限符号的右边，然后【Esc】键，输入sumt，再按一下【Esc】键，输入求和符号，用鼠标左键点击各占位符，或者按【Tab】键切换占位符位置，在下面的两个占位符分别输入k和1，在上面的占位符输入n，在右边的占位符中输入()，然后在括号中输入1，按下【Ctrl】不放，再按【/】，创建分式，1自动设置为分子，在分母中输入3k-2，按一下向右箭头，切换输入位置，输入+1，按下【Ctrl】不放，再按【/】，输入3k-1，按一下向右箭头，切换输入位置，输入-2，按下【Ctrl】不放，再按【/】，输入3k，输入完成后，按下主键盘区的【Shift】不放，按一下【Enter】，或者直接按一下小键盘区的【Enter】，执行即得到上面的结果，显示效果如上。其中第二行的%为引用上一行的计算结果，然后执行简化计算。