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极限的计算在数学中的地位是极其重要的，方法也特别多。有些极限使用微积分的知识可能比较困难，甚至有时候根本无从下手，比如说含有重积分或者随机变量，亦或者是某些数列极限，但是如果跳出微积分的圈子，观察要求解的极限式，联系其他所学过课程知识，如概率论与数理统计，线性代数等，或许将会是另一番新的天地。 【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！ 一、知识复习概率论与数理统计定理1 设是一常数，是正整数，，若随机变量的分布律为 则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为且． 定理2（独立同分布的中心极限定理） 设为一列相互独立相同分布的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于任意实数，有 其中为标准正态分布的分布函数．定理表明，当充分大时，有 定理３（强大数定律） 设是一相互独立分布的随机变量序列，且 ，则 定理４（控制收敛定理） 设是随机变量序列，，可积，且，则 线性代数定义１ 在线性空间的一组向量，如果存在不全为零的数，使 则称向量组是线性相关的，否则数全为0时，称它是线性无关． 二、运用概率统计知识求解极限【例１】 证明： 【参考解析】：设为一列相互独立相同分布的随机变量，观察极限式子，根据定理１可知， 服从参数为的泊松分布，即，于是对于每个有 ，由定理２得 【例２】 设，证明： 【参考解析】：观察可得，所求极限即为 假设为一列相互独立相同分布的随机变量，且服从上的均匀分布，则独立同分布，独立同分布．则 可得到 由定理３可得， 同理可得 又因为，且，所以，所以，即 由定理４可得，且由期望的性质可得， 上述两个例题表明：对于一些复杂的数列极限问题，可以构造概率分布模型。涉及多重积分的求取问题，通常是比较困难的，如果再加上极限的求取，那就是难上加难。引入随机变量，利用大数定律，中心极限定理等，作为沟通概率统计与极限的桥梁，从而将问题由复杂变得简单。 三、运用线性代数知识求解极限【例３】 斐波那契数列满足， 求． 【参考解析】：设 则当时，对于任意的实数满足．给出如下定义：若 则构成实数域上的线性空间．由于序列前两项唯一确定，故线性无关的充要条件是 与线性无关，从而是二维的线性空间． 设等比序列 若，则 即. 解得 由于线性无关，故可以表示为它们的线性组合，即 满足 从而 因为，于是 【例４】 设， 求． 【参考解析】：设 由例３依然给出定义： 则它们组成复数域上的三维线性空间．设等比序列 若，则 于是, 解得 且是线性无关的．于是可以表示为它们的线性组合，即 由欧拉公式可得， 则 由初始条件可得 解得 于是得到， 上面两个例子表明：一些迭代数列的极限若用微积分的方法是很难求的，但是从线性代数的角度考虑，将迭代数列作为一个线性空间，或许问题可以得到有效解决。方法的实质就是找到线性空间的基底，但是基底又不是唯一的，本文的找的是等比数列作为基底，因此基底找得好，问题的解决也就简单了。上述例题研究的是二维与三维的情况，一些更复杂的数列极限也可以用多维代数来解决。 四、总结高等数学，线性代数，概率论与数理统计是三大数学基础公共课，但是这三者并不是独立的，而是内在相通的，比如，线性非齐次方程组和线性非齐次微分方程的解的结构，概率统计极限理论等等。部分考研数学题往往将三科知识融合在一道题里面进行考察。但求解极限的方法非常多，比如洛必达，等价无穷小等等，本文介绍的只是具有特殊形式的极限，只能应用在一些特殊的题目类型当中，而且其思路也是非常的巧秒，因此掌握基本的求解极限的方法才是我们考研数学的重点。 说明：本文内容由作者根据相关资料整理，分享、转载仅供学习交流，没有标明出处的资源源于无法追溯其详细来源，如原出处不同意转载分享，请联系删除！ |
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