【原】高数第一课：高等数学怎么学？

本文插图整理自网络

对于曾经的理工科学生深刻体会到：虽然高数虐我千百遍，依然还不得不待高数如初恋！只因挂一科高数，等于挂两门其他的课程的学分；只因为高数没学会，后续专业课无以为继，……

 

作为理工科学生（数学专业除外），甚至有些学校的文科生，无论如何，高数终究是要学的，逃避是不可能的事。至于进入大学以后，对于曾经的中学学霸，为什么感叹：“天呐，高数怎么就这么难学啊，不学了，我要回去读高三！”. 其中的原因以及如何破局，咱们在第一次课中一起来聊一聊！

 

一、高数为什么难学？

中学阶段的数学课堂：老师讲为主，学生练为辅。通常情况下，老师都会先讲清楚概念定义，再出一些相似例题在课堂上练习、详细分析讲解，之后再辅助一些课后、家庭作业用于巩固。同时，还会进行大大小小的多次考试，比如周考，月考，期中、期末考等等；并且高中数学更多的是计算，也就是说老师给你一种方法，然后反复、不断加以练习直至掌握。

 

与高中数学教学、学习不同：大学数学抽象的定义证明超级多，而且内容多、课时少，老师讲课速度超级快，课堂上老师基本不会给时间消化和练习，例题、练习也一般只分析思路和可能的探索方法；而课后也不会督促练习。

更重要的是，进入大学，有些同学自我放松比较厉害，很多人理所当然觉得，大学里学习不是重要的，玩才是最重要的。在大学校园里，我们见到的不是背着吉他的小哥哥，就是打扮得漂漂亮的小姐姐，要么随处可见的就是一堆堆玩游戏的大学生。不再像高中般随处可见的是看书、读书的人，除去上上课，基本与“学习”隔绝。丰富多彩的大学生活，许多人渐渐忘了学习，没有督促，哪会抽出时间来主动练习来巩固听课效果、及时消化掌握课程内容。

而且，数学学习前后衔接（相关性）密切，一环扣一环，一旦开小差，前面没掌握，后面基本上就没法听懂、理解，也就失去了继续听下去的信心和能力。这样，高数也就自然成了众多大学生的噩梦。

 

二、大学数学的特点与学习方法

1、数学学习中最重要的是数学素质培养

“数学素质教育”是大学数学教学的灵魂。数学素质是以先天遗传因素为基体，在从事数学学习与应用活动的过程中，通过自身的不断认识和实践的影响下，使数学文化知识和数学能力在发展中内化，逐渐形成和发展起来的“数学化”思维意识与“数学化”地观察世界、处理和解决问题的能力。它是一种综合素质，它主要表现在观念、能力、语言、思维、心理等方面。数学素质包括数学意识、解决问题、数学推理、信息交流、数学心理素质五个部分。

“数学素质教育”就是通过系统和科学的数学教学来启发人的悟性，并挖掘人的潜能，从而达到培养能力、开发智力、启发创新的目的的过程。

• 被动的记忆能力上升为主动的、系统的分析问题的能力和独立思考的能力

• 现代大学教育成为以培养学习者获取新知识的能力为主要目的的素质教育

• 21世纪的人才，应具备自我学习、自我组织、自我适应及自我发展的能力

 

2、注重大学数学特点

精确性、抽象性、技巧性(逻辑严谨、高度抽象、广泛应用)

学习抽象概念，要抓住下面几个环节：

(1) 记住一两个引入概念的实例；

(2) 记住一两个与概念相悖的反例，从多侧面加深对概念的理解；

(3) 弄清概念与其它已有概念的关系，避免将诸多概念分割成孤零零的教条，将诸概念之间的关系，用例子（包括反例）、定理、公式联系起来。

 

3、如何听课

(1) 讲得学生人人都能听懂的教师，不是好教师；

(2) 上课主要听概念、思路，尤其注意老师强调的地方，这往往是容易出现错误的地方；听定理证明的方法，而不要过分拘泥于听懂证明过程中的每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充。

(3) 一堂课自始至终保持注意力不太容易做到，因此建议把主要精力集中在概念讲述、定理证明思路、易出错地方的介绍与讨论，学会合理分配精力与体力。

 

4、看书

(1) 建议选定一本习题指导、疑难问题解答、或考研复习资料作为参考书；

(2) 读书：多则惑，少则得；

(3) 当把一本书读“薄”这一过程完成之后，应该尝试着再把书读“厚”，把体会、从参考书上学来的好的例子、新的证明思路、方法及相关扩展性的内容等等添加进去，使之丰富起来，使书真正成为自已“写出来”的书

 

5、练习

(1) 概念性练习最重要，建议多花点时间

(2) 对基本运算题应多练习，并注意准确性与速度，少看书后的参考解答，靠答案的辅助提示

(3) 对做错练习不要放过，记住，错误往往正是这道题检测时所预先设计的，要引起警觉. 

(4) 做过练习之后一定要学会总结、归纳(知识点、思路、方法，“套路？”)，及时查漏补缺。

 

华罗庚：埋头苦干是第一，熟能生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才

 

6、学习态度与习惯

■ 正确学习态度：把学习当快乐，把积累当成功；滴水成河，聚沙成塔；

■ 养成良好的学习习惯：脚踏实地、按部就班，把提高学习的效率与学习的质量放在首位

■ 数学记忆建立在理解和熟练做题基础上

■ 手写笔记，少或不积累电子文档

 

法国数学家笛卡尔：没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。

 

7、学习的境界

想学、会问、能用；知之、好之、乐之

8、学习高等数学三个要求

(1) 历史地学习

各类知识都是在一定的历史过程中形成的。因此，要在历史发展的长河中，考察它的产生、发展、意义及未来。这就是历史地学习。建议大家了解一点数学科学史和一些科学家在关注专业领域和数学领域所做的贡献。

 

(2) 立体地学习

要从各个不同侧面来理解所学的知识。用不同的观点：如哲学的、物理的、直觉的、甚至常识的来解释同一个问题。学会从正面、反面和各个不同侧面来观察同一个问题。要通过联想、类比、归纳等方法，将所学的知识编织成一个知识的网络。知识只有融会贯通才能发挥它的巨大威力。

 

(3) 务实的学习

学习的目的在于应用。要勇于研究实际问题，善于将实际问题数学化（模型化），又善于将理论结果回到实际中去。学习离不开一个“勤”字：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

 

要勤于思考。勤于提问。凡事要问一问：为什么？它的本质是什么？要勤于互相讨论，学问学问，又学又问。要勤于动手，只要有一点体会、想法就要动手记下来。要从教材的字里行间、从课堂的讲授中、从彼此的讨论中，品味出属于自己的理解，品味出深层次的韵味。提倡主动地、生动活泼地、创造性地学习。

 

三、高等数学的学习目标与内容

高校理工科各类专业的学生（数学专业除外，数学专业学数学分析）一般都要学习一些数学基础课程，相对于某些需要学数学的文科专业，难度要大，其中最基础的课程所使用的教材一般就是“高等数学”；而文科各类专业的学生，学的数学内容稍微浅一些，教材通常称为“微积分”或“文科高等数学”。另外的数学基础课则通常有：线性代数（数学专业学高等代数），概率论与数理统计（有些数学专业分开学）。这两门课和高等数学一起，也是工科、理科（数学专业除外）、财经类等专业研究生全国招生考试的基础内容科目。

 

《高等数学》是高等院校的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，可以系统地获得微积分的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想、方法，使学习者受到数学分析的基本概念、理论、方法以及运用这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练，以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。

 

主要内容：

1、分析基础: 函数 , 极限, 连续

2、微积分学（一元微积分、多元微积分）

3、向量代数与空间解析几何

4、无穷级数

5、常微分方程

6、数学软件与数学实验

 

注：不同学校根据层次和专业不同略有不同！

 

不管你是刚入大学校园的学友

还是曾经学过高数的学友

对于高数学习

你有怎样的认识

又有怎样的收获呢

或有怎样的学习经验呢

欢迎文后留言分享

参考课件

课件中练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：证明：是无理数。

【参考证明】：假设为有理数，则其可以表示为最简分数形式，即，其中为互素的整数。于是

所以为偶数，则为偶数并可表示为，代入上式，得

所以，即也为偶数. 从而可得和有公因数2，与为最简分数矛盾. 所以不可能为有理数，即为无理数。

练习2：设 𝑎，𝑏，𝑐为互异实数，求解方程组:

【参考证明】：考察方程结构，可以视𝑎，𝑏，𝑐为方程

的三个根，于是由多项式方程根与系数的关系，可得

由此可知

练习3：设，且. 证明：

等号当且仅当时成立．

【参考证明】：用数学归纳法证明：

1. 当时，由于，所以 ，且都为正数，所以从方幂不等式，有

等号当且仅当时成立.

2. 设 时不等式成立，即

则当时，当

由题目条件可以得

所以有

结论成立．

当不全为1时，这时至少有一个小于1，一个大于1． 不失一般性，可以令, ，于是

令，则有

根据归纳假设，有

于是

因为，所以

从而

综上可知所证结论成立.

相关推荐

高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！课件PDF文档请到QQ群文件分享下载！

● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项

● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部  竞赛实验  下 竞赛试题与通知  选项