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不知道大家爬过山没有，站在山顶回望，你会发现一览无余。 就像战争年代，双方一定要去占领制高点，只有占领了制高点，你才能对敌人的一举一动洞若观火，进而采取合适的应对。 数学学习亦是如此！ 小学六年、初中三年、高中三年，总共十二年的数学学习，到底学的是什么? 不同的阶段，它们的学习内容之间到底有什么不同，有没有联系呢？ 如果有联系，又是如何发展的呢？ 在学习低阶段的数学时，能否为高阶段的学习打好基础？ 能不能从中找到解决小初衔接，初高衔接之间问题的方法？ 可惜会去主动思考这些问题的人很少！ 老师们一般都只关注自己所处的阶段，而家长们，或者没有专业背景，有心无力，或者没有意识到这一问题的重要性！ 但是数学的学习从小学开始，到高中结束，这是一个完整的系统，搞清楚它的发展脉络、在每一阶段的主要任务，用一盘棋的观点去看待整个数学体系，不管是对于老师或者家长，都是非常有用的。 与家长而言，能够做到心里有数，知道如何把握孩子的学习方向。 与老师而言，可以将低阶段的知识与高阶段中的知识相对接，从而帮助学生减少阶段衔接时面临的压力。 说实话，如果不是因为自己的孩子要上小学，我是想不到去研究小学、初中的数学知识的，但是当我真正把小初高的数学知识系统立起来，从中真的有不少收获。加之我身边有不少朋友的孩子正在小学上初中，我也想把自己的心得分享出来，希望能够对大家有用！ 数学的整个体系主要可以分成三条线，代数、几何、概率统计，这三条线贯穿十二年学习的始终，今天我们主要来聊一聊代数！ 首先请大家看下面这个表格： 这是从小学一年级开始一直到高二，所有的代数内容。 简单概括一下，整个代数体系的脉络就是：数系的扩充，运算的复杂，常量到变量。 数系的扩充： 一二年级主要研究的是自然数。 三四年级开始研究小数，五六年级开始研究分数。这里家长要知道，小数和分数是有非常紧密的联系的，实际上除了无限不循环小数之外，其他的小数，不论是有限小数，亦或是无限循环小数都可以转化为分数，而分数其实就是有理数！ 而有理数的概念到七年级上册会讲，让学生提前形成这个概念后，就可以和初中衔接起来。 到六年级下册，会学到负数，数系的范围会进一步扩大。 七年级下册，会学到无理数，有理数与无理数合称为实数，由此数系的扩充告一段落。可以说整个初高中代数的研究范围，就是在实数范围内。 再扩充就到高二下学期引入复数的概念了。 数系的扩展其实是一个填充数轴的过程，知道数轴的家长，可以将自然数、整数、有理数、实数这种数系的扩展通过数轴的填充展示给孩子，也是一种数形结合。 而且很容易孩子就会想到，如果一条数轴不够，那么再加一条数轴，一个坐标平面会表示什么数？ 自然可以引出复数的概念！ 运算的复杂： 一年级研究的是加减法。 二年级开始研究乘除法，开始加减乘除的混合运算。 之后的运算是随着数系的扩充，在这些数系范围内进行加减乘除的混合运算。 这一过程会一直持续到七年级上册的有理数，会学习到乘方，无理数中会涉及到开方，到此运算基本告一段落，再学习新运算就要到高一必修一学习对数运算了。 其实乘方、开方、对数运算三者互为逆运算，有条件的家长在这里给学生拓展一些，到高中之后，学生就不会面对对数运算束手无策了。 当高二下学期学完复数的概念，运算告一段落。 需要提一下的是，六年级上会涉及到比这一概念，而比例关系是初中证明相似的主要工具，而相似关系又是初中平面几何的主要问题！ 在学习这一部分时，家长其实可以利用相似三角形来举例，一举两得。 常量到变量： 小学数学之所以又被称之为算术，就是因为小学代数的主要内容就是常量的运算。只在小学五年级上册会涉及到变量，用字母表示数，还有一点方程的知识，而且相当简单，是不需要移项的一元一次方程。 虽然内容很少，但非常重要，可以说是整个初高中的基础，在这里，家长要帮助孩子掌握好方程所代表的思想方法，因为虽然方程形式有简单复杂，但是其背后蕴含的思想方法是一致的。 有能力的家长可以在这里给学生引申，这样在七年级上学期学习一元一次方程时，就比较好衔接了。 而在七年级上学期学习的整式的加减，就是对小学五年级用字母表示数的拓展，这是从常量到变量的开始，从此以后的代数研究，不管是方程、不等式还是函数，都是对变量的研究。 其实在小学教材中，有一个点很适合作为学习变量的素材，那就是一年级下册的找规律！找规律其实就是高中的数列，而高中的数列本质就是函数。 数列中每一项的值都随着项数的变化而变化，完全可以渗透变量的概念！ 甚至数列项数和每一项的值之间的对应关系非常明确，可以作为学习高中函数概念的素材。 常量到变量，这是代数中小学到初中一个非常大的变化。 到了初中，关于变量有两个方向，一个是方程，主要有一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，另一个是函数，主要有一次函数，二次函数和反比例函数。 这两者是初中代数的主体，也是中考的重点内容，尤其是二次函数更是压轴的存在。 这两者是有联系的，比如二元一次方程，完全可以转化为一元一次函数的形式，虽然在本质上方程和函数是不太一样的，但在这里，完全可以用研究一次函数的方法，比如画图像去研究二元一次方程，会发现原来直线可以用二元一次方程去表示。 这其实就是高中解析几何的思路，和高一上学期必修二的解析几何结合在一起了。 当然不仅于此，一元一次函数和一元一次方程，乃至一元一次不等式有着非常紧密的联系，一元二次函数和一元二次方程也是如此。 从图像的角度来讲，一元方程本质就是一元函数与x轴相交，相应的不等式对应的就是图像在x轴上下的部分。 这种数形结合的思路，用函数观点看待不等式和方程的思想，在高中也是非常有用的，尤其是二次函数方程不等式，在高一必修一中还有涉及，是初高衔接的点之一。 二元一次方程组的解法基本思路是消元，设未知数，消未知数，即使在高中也是有用的，比如在解析几何中。 之所以在这里着墨甚多，是因为函数极其重要，可以这样说，它的重要性远超几何。 从中考来说，可以这么说，孩子能不能考上本地最好的学校，就看二次函数这道题了。 从初高衔接来说，高中的很多章节本身就是函数，相关章节也有很多，可以这样说，除了三角恒等变换和复数之外，其他的代数内容都与函数有关系。更重要的是，高中数学在新课程标准中呈现出非常强的代数化趋势。 比如高中的立体几何证明，已经不再运用初中几何的综合证明法了，而是利用空间向量转化为代数计算问题了。 而高中所学的解析几何的基本思想更是直接把几何图形转化为方程，通过研究方程去研究几何性质与关系！ 虽然高中数学呈现出非常强的代数化趋势，但图像仍然是辅助研究函数性质、方程问题的主要工具，这就是所谓的数形结合！ 所以又回到我们刚才所讲的问题，在初中数学的学习中，在我们的辅导中，一定要加强孩子对数形结合思想的应用！ 所以初高中学习的衔接不应该存在于某一个点，而应该是贯穿于初中学习的始终！ 小初衔接亦是如此！
高中数学是小初高数学的顶点，整个小初阶段的数学学习就是为了高中数学的学习做准备工作的！ 就代数而言，在进入高中之前，要让孩子做好哪些准备呢？ 应该有一个比较强的运算能力，对于函数，方程，不等式相互关系比较清楚的认识，数形结合的能力。 在高中代数的主线就是函数，而研究函数的核心是定义，高中函数的定义与初中函数的定义是有区别的，强调的是对应，这种思想，在初中一定要给学生渗透，否则到高中他们很难马上理解。 先研究函数的新定义，表示和性质，比如单调性、奇偶性、周期性，然后用初中学过的二次函数作为素材，运用新学过的知识重新研究，之后引入新的两种函数，指数函数和对数函数，研究函数与方程的关系。 然后学习研究单调性的工具，即微积分初步——导数。 除此之外，直接的外延有三角函数，也是函数的一种，还有数列，是函数的一种特殊情况。 之所以把初中的三角函数放进代数部分，就是因为其对应的高中知识，主要是在代数范畴之内。 但是初高中的三角函数差别之大，几乎是两个不同的章节，唯一的联系就是三角比的定义。 基本上整个代数的分析就是这个样子了，因为比较仓促，有些东西没有展开讲，比如小学教材中的思维广角，其前卫程度简直让人咂舌，很多知识其实是高中知识下方。 大家可以去看一看！
我在这里用的教材都是人教版教材，由于各地教材不一致，可能略有出入，但基本内容是一致的。 至于几何，我们下次再聊吧。 我很尊敬的一位老大哥说过这样一句话： 好的家长，好的老师，不是帮着孩子解一道题目，而是能够在关键的地方推他一把，让他在之后的道路上走的更顺畅！ 与大家共勉！
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