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2020年 2020年10月15日，再次来到了“勾股定理新授课”，这应该是我19年教学生涯中第5次教授勾股定理，备课时，我学习了汪晓勤教授所著《HPM:数学史与数学教育》一书，并请教了数学史专家栗小妮博士。考虑以讲授为主，主题是：古今中外勾股定理十证明！  （当天课堂板书） 本节课勾股定理证明关键 将a^2,b^2,c^2看成三个正方形的面积，运用面积转化的策略，证明以两条直角边为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积。  实验说明 证法一 欧几里得 古希腊 公元前3世纪  证法二 梅文鼎 中国（清初）17世纪  动态演示视频 证法三 伊本库拉 阿拉伯 9世纪 动态演示视频 证法四 伯里加尔 英国 19世纪  刻于墓碑上的“水车翼轮法” 证法五 达芬奇 意大利 15世纪  证法六 毕德哥拉斯 古希腊 公元前6世纪 动态演示视频 证法七、八 赵爽 中国（东汉末至三国）3世纪   证法九 加菲尔德 美国（总统） 19世纪  证法十 黄家杰（华育中学）中国 2007年  黄家杰是我的一位学生，是我13年前一节公开课试讲中提出的证法，他认为青色面积加黄色面积就是(1/2c^2)。我学疏才浅，是否这个证明在2007年前就已经出现，不得而知，请各位读者指正！ 2007年 黄家杰同学的证法诞生于13年前我开设的一节“勾股定理”的新授区级公开课试讲，当时情形是： 这节课已经进入到后半段，我（教师）准备了10套教具（每套四张全等的直角三角形纸片），分别发给了班级的10个小组，要求他们分组探索勾股定理的证明方法，我心里想的是“证法六、七、八”，同学们也不负所望，不一会儿就“拼”好了，纷纷上台展示。 我进一步设问：如果再减少两张纸片，仅用两张纸片能否“拼”出勾股定理的证明方法呢？（此时我想的是证法九），然而就在这节试讲中，黄家杰同学经过探索，拼出了如上的图，我当时完全“懵逼”了，一下子没有反应过来，他是怎样证明的，后来在他的解释下，我才懂得其中的妙处，全场也响起了雷鸣般的掌声…… 现将我当时的详案与大家分享…… News 教学目标 1、理解用面积割补方法证明勾股定理的思路； 2、初步掌握勾股定理，并能进行简单运用。 News 重点难点 面积割补法证明勾股定理 News 教学过程 新课导入 师:在一次盛大的宴会后，毕达哥拉斯被地面上奇妙的花纹吸引住了……请同学观察，毕达哥拉斯从中发现了什么？  师：图上有哪些图形？ 生：图中央有一等腰直角三角形，和三个以该等腰直角三角形三边向外所做的正方形。 师：请问这三个正方形面积之间有什么关系？ 生：S1＋S2＝S3 师：已知该等腰直角三角形直角边和斜边长分别为a、c，则三个正方形面积是多少？ 生：S1＝S2＝a^2；S3＝c^2。 师：你能从中总结出怎样的规律？ 生：等腰直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 师：那对于一般的直角三角形是否也具备这样的规律呢？让我们沿着毕达哥拉斯的脚步继续探索。 探索新知 师：请同学以格点为顶点，在工作单中间画一个任意直角三角形 师：以该直角三角形三边为边画三个正方形，假设每个格点为1个单位长度，请同学们借助格点求出三个正方形的面积。 …… 师：相对而言在求S3面积时会更有挑战，对此，谁能给出一些建议。 『给学生充分交流展示的时间』 生：补成一个正方形，中间倾斜的正方形ABDE的面积等于外围正方形CFGH减4个直角三角形的面积。 师：这四个直角三角形面积是一样的吗？ 生：因为三角形全等（A.A.S或A.S.A），所以他们面积都相等。 师：在此我们是通过面积的割补把不规则图形转化为规则图形的方法解决上述问题的 …… 师：（请数位学生公布计算数据并板书）这三个正方形面积之间存在怎样的数量关系？ 生：S1＋S2＝S3 师：这三个正方形的面积又和什么相关，从中你可以得到什么猜想？ 生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a、b为直角三角形直角边，c为斜边）。 证明勾股 师：通过前面探究，你有没有得到具体证明方案？ 生：大正方形的面积为(a+b)^2，其中包含的正方形面积为c^2，并有“(a+b)^2-2ab=a^2+b^2=c^2”的关系。 师：用直角三角形的拼接正方形能够证明这个问题，那用直角三角形拼接成其他图形能否证明这个问题吗？ （让学生自己独自思考1－3分钟。继而请同学上台运用我提供的教具直角三角形和正方形在黑板上拼图，并简述理由） 可选的方法还有： 其他证明方法简介 师：第一步:将正方形ACGH向下平移，使点C与点M重合； 第二步:在NG’上截取NP＝AC，联结BP、PH’、AH’ 观察【1】四边形ABPH是否是由C为一边的正方形？ 观察【2】△BNP’、△PG’H’、△AA’H’、△ABC面积是否相等？ 板书小结 草根感想 1、重复的生活是枯燥的，与其循环往复我们昨日的课，何不抓住时机与生共乐。勾股定理博大精深、魅力无穷，仅仅是面积证明方法就非常精彩，值得我去学习，值得课堂去讲授，近年这节课虽然是我一人脱口秀，然而学生总体听得滋滋有味，在那一刻，我们可以偶尔放下分数，享受一次数学赋予我们的乐趣，在数学史中寻找数学的魂； 2、13年前那节课，在实验探索阶段，黄家杰同学的惊鸿一瞥，让我震撼，让我感到了学生的智慧。然而细细推敲他的灵光闪现也与我的教学设计有关，特别是动手操作环节，由四个全等直角三角形拼接到两个全等直角三角形的拼接催生了它的解法，虽是无心插柳，但也充分说明有时是需要给与学生一点空间和数学实验的机会，不能全都由教师包办。 3、对于方法的总结也很重要，无论13年前还是这节课，在种种证明方法之后，让学生体会如何“数形结合”，怎样“等积转化”，什么是“出入相补”，着眼于数学思想的渗透，而数学的乐趣就在于其数学内部。 我是一名草根数学一线教师，时值中年，卑微倔强，生活更多留给了我不尽地困顿，所以我更珍惜在课堂上的光阴，那是属于草根的快乐时光。 |
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