【原】函数同构问题解题思路与经典22例

  函数同构问题

关于同构式下的“亲戚函数”

同构式下两条主线

1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.

2．同位同构：

①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；

②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；

③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.

关于的亲戚函数

如图1：根据求导后可知：在区间，在区间，．

        

图1                           图2                               图3                                图4

考点1 平移和拉伸得到的同构函数

如图2：，即将向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，．

如图3：，即将向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，．

如图4：，即将向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的倍，故可得在区间，在区间，当时，．

考点2 乘除导致凹凸反转同构函数

                           

                             图5                                 图6                                 图7                           图8        

如图5：，即将关于原点对称后得到，故可得在区间，在区间，当时，．

如图6：，即将关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小倍，得到，故可得在区间，在区间，当时，．

如图7：，属于分式函数，将关于原点对称后得到，故可得在区间，在区间，当时，．

如图8：，属于分式函数，将关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小倍，故可得在区间，在区间，当时，．

考点3 顺反同构函数

               

图9                              图10                                        图11                                    图12            

如图9：，当，即，当，即，．

如图10：，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当，即，当，即，．

如图11：，当，即，当，即，．

如图12：，当，即，当，即，．

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  通过以下例题来感受其中奥妙吧

1.对于任意的不等式  恒成立，则的取值范围是        ．

解：由题意知，,,  ,

故只需,即，∴.        

2.设，若存在正实数，使得不等式.≥0恒成立，

则的最大值为       ．

解： ≥0 =>  => => ,即.                            

3.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是    ．

解：，=， 

4.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为    ．

解：，，.

5.设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为    ．

解：，解得

6.对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值     ．

解：由题意得，即，.

7.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是       ．

解：由题意得：，右边凑1，

得，得.（说明：定义域大于零，所以，成立）.

8.对，不等式恒成立，则实数的最小值为      ．

解：由题意得，，，∴.

9.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是   ． 

解：，∴，∴,≥-e.

10.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为       ．

解：由题意可知：,∴,∴只需，∴.

11.已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是     ．

A．        B．        C．        D．

解：，∴，∴.

12.对任意的，恒有，求实数的最小值     ．

解：由题意得：，即，

得.

13.若关于的方程只有一个实数解，则的取值范围是     ．　　

解：由题意得，令，则由图像易得或，所以或.

14. 已知函数，

求函数的单调区间；

若对恒成立，求实数的取值范围．

解：第一问略.

（2）由题意得：，右边式子凑1得，

即，因为，当且仅当等号成立，所以满足即可，当且仅当，即等号成立，所以.

15. 设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，；  (2)证明：.

解：略.

由知，，要证，即证，得，

，构造函数，即证，显然，当仅当时等号成立，因为时，；时，，取等条件明显不一致，所以显然不存在，故，即．

16.已知函数．

（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

解：函数．，，是的极值点，，解得，，，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增．

（2）证明：当时，，即只需要证明，，构造，则对恒成立，故只需证恒成立，当时，．

17. 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设，其中，若恒成立，求的取值范围.

解：略.

由题意得：，因为，当且仅当时等号成立,所以等价于证:，所以.

18.已知函数，为的导函数．

（1）令，试讨论函数的单调区间；

（2）证明：．

解：（1）略；

（2）由题意得：，因为（当且仅当时等号成立），等价于证明，构造，则，易知

19.已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围．

解：（1）略；

（2）由题意得：有两解，得，构造，易得，所以，当且仅当时等号成立，要使方程有两个实根，则需满足，得.

20. 已知．

（1）若，求的单调区间；

（2）若的最小值为，求证．

解：（1）略；

（2）构造，则，则，，，

，，接下来分类讨论：1，当，则，成立；

2，当，则，得，成立；3，当，则，得；综上得证.

21.已知函数，其中.

（1）若，证明：是定义域上的增函数；

（2）是否存在，使得在处取得极小值？说明理由.                                    

解（1）略；

（2）构造，则，当且仅当时等号成立，

即，因为在处取得最小值，所以，这里需说明以及矛盾（方法同上题衡水金卷）.

22. 已知函数．（为常数）

（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；

（2）若，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

解：（1）略；

（2）由题意得：，即，

右边凑1，得，

构造，则，即，当且仅当时取等号，所以只需满足.

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