【数学帮】你必须知道的50种辅助线做法！几何从此不失分！

涵盖三角形和四边形，掌握这50种辅助线做法，快速搞定几何题！

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三角形部分

 1 

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果无法直接证明，可连接两点或延长某一边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质进行论证。

注意：

利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过辅助线把求证的量（或与求证有关的量）转移至同一个或几个三角形中进行论证。

 2 

在利用三角形的外角大于任何与它不相邻的内角证明不等关系时，如果不能直接证明，可连接两点或延长某一边，构造三角形。使求证的大角在某个三角形的外角上，小角在内角位置上，再利用外角定理证题。

 3 

有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。

 4 

有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。

 5 

在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。

 6 

截长补短做辅助线的方法：

截长法：在较长的线段上截取一段线段等于较短的线段。

补短法：延长较短线段和较长线段相等。

当已知或求证中涉及线段a/b/c/d有下列情况之一时适宜采用此种方法：

①a＞b 

②a±b=c

③a±b=c±d

 7 

条件不足时延长已知边构造三角形。

 8 

连接四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形问题进行证明。

 9 

有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“垂直加平分出等腰三角形”。

 10 

当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形。

 11 

当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件。

 12 

有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线。利用角平分线上的点到角两遍距离相等证题。

 13 

有等腰三角形时常用的辅助线。

①做顶角的平分线、底边中线、底边高线

②有底边中点时，常做底边中线。

③将腰延长一倍，构造直角三角形解题。

④常过一腰上某一已知点做另一腰的平行线。

⑤常过一腰上的某一已知点做底的平行线。

⑥常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形——等边三角形。

 14 

有二倍角时常用的辅助线。

①构造等腰三角形，使二倍角是等腰三角形的顶角的外角。

②平分二倍角

③加倍小角

 15 

有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连接起来。

 16 

有垂直时常构造垂直平分线。

 17 

有中点时常构造垂直平分线。

 18 

当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题。

 19

条件中出现特殊角时常做高把特殊角放在直角三角形中。

四边形部分

 1 

有平行线时常做平行线构造四边形。

 2 

有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段。

 3 

有垂直时可做垂线构造矩形或平行线。

 4 

直角三角形常用辅助线方法：

①做斜边上的高

②有斜边中点时常做斜边中线。

③有和斜边成倍关系的线段时，常做斜边中线。

 5 

有正方形一边中点时常取另一边中点。

 6 

利用正方形进行旋转变换。

旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等临边的公共端点旋转到另一位置的辅助线方法。

旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。

旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中。

 7 

有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形。

 8 

从梯形的一个顶点做一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。

 9 

从梯形同一底的两端做另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形。

 10 

从梯形的一个顶点做一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形。

 11 

延长梯形两腰使他们交于一点，把梯形转化成三角形。

 12

有梯形一腰中点时，常过此中点做另一腰的平行线，把梯形转化为平行四边形。

 13 

有梯形一腰中点时，常把一底的端点与中点连接至与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形。

 14 

梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线。

15 

有线段中点时，常过中点做平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题。

 16 

有下列情况时常做三角形中位线：

①有一边中点

②有线段成倍关系

③有两边（或两边以上）中点

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有下列情况时常构造梯形中位线：

①有一腰中点

②有两腰中点

③涉及梯形上、下底之和

 18 

当图形中有叉线（基本图形如下）时，常做平行线。

 19 

有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形。