发解题的习惯了之后,不发几个题,感觉不得劲哈。 下面继续发一道几何题。 只要学了初二下的知识,基本就可以搞定了。 【题目】 如图,∠B=60°,AD⊥BC,CE⊥AB,求证:AC=2DE。 【方法一】 取AC的中点F,连接EF与DF。 得EF=DF=1/2AC。 由∠B=60°得∠BAC+∠BCA=120°, 那么∠AFE+∠DFC=120°, 则∠EFD=60°,得△DEF为等边三角形,结论得证。 备注:直角三角形取斜边中点得斜边中线为斜边的一半。 【方法二】 如下图,连接AB与BC的中点G、H,得中位线GH=1/2AC。 只需证明GH=DE即可得到结论。 那么想到的就是利用全等。 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,那么可以得到BE=1/2BC=BH, 同理可得BD=BG, 且公共角为∠B,那么得到两个三角形全等。 备注:证明倍半关系,可以考虑构造中位线。 【方法三】 观察易得△BDE∽△BCA。 那怎么证明呢? 由于AC为两个直角三角形△AEC与△ADC的公共斜边, 易得A、E、D、C四点共圆,那么就可以得到对角互补, 进而得到∠BDE=∠CAE,同理得∠BED=∠ACB, 所以两个三角形相似得证。 那么就可以得到DE/AC=BD/AB=1/2. 结论得证。 备注:有公共斜边的两个直角三角形的顶点共圆。 【方法四】 在上面的基础上,可以得到下面的两个三角形相似。 也就是得到DE/AC=DF/CF=1/2. 备注:如上图,圆内的相交线产生的两个三角形相似(可以得到相交线定理)。 【方法五】 直接建系设点坐标,表示出线段长即可。 设点A、B、C的坐标,得到AB与CE的方程,得点E的坐标,进而得到DE与AC的长度。结果得证。 当然,本题还可以利用高中的正弦定理等方法进行求解,这里就不拓展了。 |
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