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不做作业母慈子孝，一做作业鸡飞狗跳！孩子难，家长更难 近日，家长因为批改作业退群事件引发广泛的关注和讨论 青海中考数学考试的题目类型比较固定，整体的考察难度和创新在西部地区还是非常值得肯定的，对于几何综合的考察，青海则借助探究的基本形式进行拓展和创新，对于孩子的启发还是很有一定的帮助，在几何的探究过程中，相似，全等，勾股几何工具涉及的比较全面，大家可以感受青海题目的综合几何难度。  实操真题讲解 1．（2020·青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．  特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明． 猜想论证： （2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 联系拓展： （3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明） 【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题． （2）结论：CG＝DE+DF．利用面积法证明即可． （3）结论不变，证明方法类似（2）． 【解答】（1）证明：如图1中，  ∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC， ∴△FAB≌△GAC（AAS）， ∴FB＝CG． （2）解：结论：CG＝DE+DF． 理由：如图2中，连接AD．  ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB， ∴·AB·CG＝·AB·DE+·AC·DF， ∵AB＝AC， ∴CG＝DE+DF． （3）解：结论不变：CG＝DE+DF． 理由：如图3中，连接AD．  ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB， ∴1/2·AB·CG＝1/2·AB·DE+1/2·AC·DF， ∵AB＝AC， ∴CG＝DE+DF． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．   2．（2019·青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝  这是中国古代数学的瑰宝之一． 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（a+b+c）/2（周长的一半），则S＝√p·√(p-a)·√(p-b)·√(p-c) ② （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝(a+b+c)/2，S为三角形面积，则S＝pr．  【分析】 （1）由公式①得：S＝  ＝10， 由②得：p＝(5+7+8)/2＝10，S＝√10×√(10-5)×√(10-7)×√(10-8)＝10√3； （2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为：1/4(ab+(a²+b²-c²)/2)·(ab﹣(a²+b²-c²)/2）＝1/16（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝1/16×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出结论； （3）连接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）由①得：S＝ ＝10√3， 由②得：p＝(5+7+8)/2＝10， S＝√10×√(10-5)×√(10-7)×√(10-8)＝10√3； （2）公式①和②等价；推导过程如下： ∵p＝(a+b+c)/2 ∴2p＝a+b+c， ①中根号内的式子可化为： 1/4(ab+(a²+b²-c²)/2)·(ab﹣(a²+b²-c²)/2） ＝1/16（2ab+a2+b2﹣c²）（2ab﹣a²﹣b²+c²） ＝1/16[（a+b)²﹣c²][c²﹣（a﹣b)²] ＝1/16（a+b+c）×（a+b﹣c）×（c+a﹣b）×（c﹣a+b） ＝1/16×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a） ＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）， ∴ ＝√p·√(p-a)·√(p-b)·√(p-c) ； （3）连接OA、OB、OC，如图所示： S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝1/2rc+1/2rb+1/2ra＝（a+b+c)/2×r＝pr． 【点评】本题考查了三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键． 3．（2018·青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： （1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE） （2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由． （3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程． 【分析】 （1）如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论； （2）如图2，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论； （3）如图3，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC，与CB的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF＝1/2BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， 由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝90°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBE， 在△ABC和△BDE中， ∠ACB=∠BED ∠A=∠DBE AB=BD， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC＝DE＝a． ∵S△BCD＝1/2BC·DE ∴S△BCD＝1/2a²； 解：（2）△BCD的面积为1/2a²． 理由：如图2，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E． ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°． ∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∵∠A+∠ABC＝90°． ∴∠A＝∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ∠ACB=∠BED ∠A=∠DBE AB=BD， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC＝DE＝a． ∵S△BCD＝1/2BC·DE ∴S△BCD＝1/2a²； （3）如图3，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E， ∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝1/2BC＝1/2a． ∴∠FAB+∠ABF＝90°． ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABF+∠DBE＝90°， ∴∠FAB＝∠EBD． ∵线段BD是由线段AB旋转得到的， ∴AB＝BD． 在△AFB和△BED中， ∠AFB=∠E ∠FAB=∠EBD AB=BD， ∴△AFB≌△BED（AAS）， ∴BF＝DE＝1/2a． ∵S△BCD＝1/2BC·DE＝1/2·1/2a·a＝1/4a²． ∴△BCD的面积为1/4a²． 【点评】 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，判断出△ABC≌△BDE是解本题的关键． 4．（2017·青海）请完成如下探究系列的有关问题： 探究1：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF，BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ． 探究2：如图2，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程） 探究3：如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由． 【分析】 探究1：（1）只要证明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF＝BD，推出∠B＝∠ACF，推出∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可； 探究2：结论不变．证明方法与探究1类似； 探究3：当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD． 【解答】 解：探究1：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∵四边形ADEF为正方形， ∴∠DAF＝90°， ∴∠CAD+∠CAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF． ∴在△ABD和△ACF中， AB=AC， ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠BCF＝90°， ∴CF⊥BD； 故答案为：CF⊥BD，CF＝BD； 探究2：探究1中的两条结论是否仍然成立． 理由如下： ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝90°+∠CAD， ∵四边形ADEF为正方形， ∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAF． ∴在△ABD和△ACF中， AB=AC， ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴∠PAD＝∠CAF， ∴△APD≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝45°， ∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°， ∴线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD． ， ∴△ABD≌△CAF（SAS）， ∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠BCF＝90°， ∴CF⊥BD． 探究3：线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD． 理由如下： 如图，过点A作AP⊥AC，交BC于点P． ∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC． ∵四边形ADEF为正方形， ∴AD＝AF， ∵∠CAP＝∠DAF＝90°， 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2016·青海）如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O． （1）在图1中，求证：△ABE≌△ADC． （2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC＝120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程． （3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC＝ （填写度数）． （4）由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为 （用含n的式子表示）． 【分析】 （1）根据等边三角形证明AB＝AD，AC＝AE，再利用等式性质得∠DAC＝∠BAE，根据SAS得出△ABE≌△ADC； （2）根据正方形性质证明△ABE≌△ADC，得∠BEA＝∠DCA，再由正方形ACEG的内角∠EAC＝90°和三角形外角和定理得∠BOC＝90°； （3）根据正五边形的性质证明：△ADC≌△ABE，再计算五边形每一个内角的度数为108°，由三角形外角定理求出∠BOC＝72°； （4）根据正n边形的性质证明：△ADC≌△ABE，再计算n边形每一个内角的度数为180°﹣360°/n，由三角形外角定理求出∠BOC＝360°/n． 【解答】 证明：（1）如图1，∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE， ∴△ABE≌△ADC； （2）如图2，∠BOC＝90°，理由是： ∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC， ∴△ADC≌△ABE， ∴∠BEA＝∠DCA， ∵∠EAC＝90°， ∴∠AMC+∠DCA＝90°， ∵∠BOC＝∠OME+∠BEA＝∠AMC+∠DCA， ∴∠BOC＝90°； （3）如图3，同理得：△ADC≌△ABE， ∴∠BEM＝∠DCA， ∵∠BOC＝∠BEM+∠OME＝∠DCA+∠AMC， ∵正五边形ACIGE， ∴∠EAC＝180°﹣360°/5＝108°， ∴∠DCA+∠AMC＝72°， ∴∠BOC＝72°； 故答案为：72°； （4）如图4，∠BOC的度数为360°/n，理由是： 同理得：△ADC≌△ABE， ∴∠BEA＝∠DCA， ∵∠BOC＝∠BEA+∠OME＝∠DCA+∠AMC， ∵正n边形AC…E， ∴∠EAC＝180°﹣360°/5， ∴∠DCA+∠AMC＝180°﹣（180﹣360°/5）°， ∴∠BOC＝360°/5． 【点评】 本题是四边形的综合题，考查了全等三角形、等边三角形、正四边形等图形的性质，关键是利用正n边形各边相等证明两三角形全等，运用了类比的方法，同时还要熟练掌握正n边形每一个内角的求法：可以利用外角和求，也可以利用内角和求；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式并综合对顶角相等分别得出结论． |
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