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音乐中的数学(上)

音阶——数学对于耳朵

情境导入

小丽从小就喜欢音乐，而且能歌善舞，常常跟着电视上的音乐哼唱。等她上学了，学校里开设了音乐课，当她第一次打开音乐课本时，发现课本上竟然布满了她熟悉的阿拉伯数字，老师告诉她这些普通的数字可以表示音阶的高低。小丽纳闷了：这不是音乐课吗？怎么会有这么多数字呢？难道音乐和数学还有什么关系吗？

数学原理

和语言一样，不同民族都有过自己创立并传承下来的记录音乐的方式——记谱法。各民族的记谱方式各不相同，但是目前被更广泛使用的是五线谱和简谱。它们都与数学有密切的联系。简谱不正是用阿拉伯数字 1、2、3、4、5、6、7 来表示Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si的吗?难怪有人开玩笑说 , 学音乐要上达到8。为什么呢?因为阿拉伯数字 8 在五线谱中也发挥着重要的作用,它常常在器乐谱中以的面目出现,这就是移动八度记号。如果标记在五线谱的上方,那么虚线内的音符要移高一个八度演奏,而标记在五线谱的下方,显然虚线内的音符要移低一个八度演奏。另外还要下达到0,因为在简谱0表示休止符。再看简谱和五线谱上,一般都会出现=60,=96,=132这样的标记,这种标记就是用来表示音乐进行的快慢的,即音乐的速度。比如,=132就表示以四分音符为单位拍, 每分钟132拍。

音阶是音乐的写作语言，就像方程和符号是数学的写作语言一样。悦耳的音乐会让人感到舒适、愉悦，田野中昆虫啁啾的鸣叫，枝头鸟儿清脆的叫声，《牧笛》优美动听的旋律，贝多芬令人振奋的交响曲……当你沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否和小丽一样想到了它们与数学有着密切的联系？

延伸阅读

毕达哥拉斯是西方文明中缔造音阶的第一人。他认为音阶必须不多不少，正好拥有7个不同的音符。相传2500年前的一天，毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引。他感到很惊奇，于是走入店中观察研究。他发现4个铁锤的重量比恰为12∶9∶8∶6，将两两一组来敲打都发出和谐的声音，这几组分别是：12∶6=2∶1一组，12∶8=9∶6=3∶2一组，12∶9=8∶6=4∶3一组。

毕达哥拉斯发现音阶的过程

毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度，一面弹，一面听。毕达哥拉斯经过反复的试验，终于初步发现了音乐的奥秘，归结出毕达哥拉斯的琴弦律：

单弦琴

（1）当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和谐悦耳的；

（2）两音弦长之比为4∶3、3∶2及2∶1时，是和谐的，并且音程分别为四度、五度及八度。

也就是说，如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是2∶1,同时或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音；而如果两条弦的长度的比是3∶2时,就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长弦发出的音高五度，等等。

物理学家伽利略(1564~1642)发现弦振动的频率跟弦长成

反比。因此，我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频率比为1∶2、2∶3及3∶4时，分别相差八度、五度及四度音。例如，频率为200与300的两音恰好相差五度音。

毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例，形成令人喜悦的和谐音乐，这就是一种特别的数学表现。

乐谱的书写离不开数学

情境导入

小红最近刚刚在数学课上学习了有关分数的知识。可是在上音乐课时，细心的她也发现了“分数”的身影，比如在每一首乐曲的开头部分,她总能看到一个分数,比如4/4、3/4或6/8等。这些分数究竟是怎么混进音乐队伍中来的呢？

数学原理

在乐谱中,拍号、 单纯音符、附点音符等，莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节的拍子数,这实质是分数求和的过程——在一个固定的拍子里,不同时值的音符必须使它凑成一个特定的节拍。

小红在每一首乐曲的开头部分看到的分数,比如4/4、3/4或6/8等,其实是用来表示不同拍子的符号，即拍号。其中分数的分子表示每小节中单位拍的数目,分母表示以几分音符为一拍。如，4/4表示以四分音符为一拍，每小节4拍。拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如和，就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数，因为

1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4。

而

和，

则不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数，因为

1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。

乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方。在乐谱中，我们可以找到拍号(4/4、3/4或1/4等)、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里，不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起。对一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符。

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黄金分割应用于作曲

不仅是乐谱的书写离不开数学，就连作曲也和数学息息相关，黄金分割应用于作曲便是数学对音乐的影响的另一个显著领域。

20世纪，某些音乐流派开始打破以往的规范形式，而采用新的自由形式。匈牙利的巴托克（1881~1945）就曾探索将黄金分割法用于作曲中。在一些乐曲的创作技法上，将高潮或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处。例如要创作89节的乐曲，其高潮便在55节处，如果是55节的乐曲，高潮便在34节处。

德国音乐家舒曼

德国音乐家舒曼的《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。每段又由等长的两个4小节乐句构成。全曲共分6句，24小节。理论计算黄金分割点应在第14小节（24×0.618≈14.83），与全曲高潮正好吻合。有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的6个乐句在各自的第二小节进行负相分割（前短后长）；本曲的三个部分A、B、A′在各自的第二乐句第二小节正相分割（前长后短），这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面，使乐曲的内容与形式更加完美。

大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位置在中部或发展部越后，甚至推迟到再现部的开端，这样可获得更强烈的艺术效果。

莫扎特

莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于99小节处，不偏不倚恰恰落在黄金分割点上（160×0.618≈98.88）。据美国数学家乔巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。然而美国的另一位音乐家认为：“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

钢琴键盘上的数学

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琴键上的八度音程

小明从小就喜欢音乐，所以爸爸在他7岁那年就给他报了钢琴兴趣班。小明一直坚持学习，转眼就学了7年多。

随着小明数学知识的丰富，身为大学数学老师的爸爸有意考考儿子：“小明，你从小就学习数学和钢琴，有没有发现钢琴键盘上也藏着数学知识呢？”小明被爸爸弄糊涂了：“我只知道乐谱上的节拍是用分数表述的，简谱的书写也可以用阿拉伯数字。可是这钢琴键盘和数学有什么关系呢？”爸爸有意引导儿子：“你瞧，在钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，这个你都知道。其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键,而5个黑键又分成2组,一组有2个黑键,一组有3个黑键，而2、3、5、8、13这一列数，你发现是否有规律可循呢？”小明想了半天也没想出来。难道这一列数真有什么奇妙的规律吗？

数学原理

其实仔细观察，我们不难发现，钢琴键盘上的这一组数2、3、5、8、13是有规律可循的，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。比如5=2+3、8=5+3……以此类推。可别小看这个看似普通的数列，它就是大名鼎鼎的斐波那契数列中的前面几个数。它的通项公式为：（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）。有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表示的。

延伸阅读

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

《珠算原理》刚问世时，仅有为数寥寥的学者知晓印度阿拉伯数字。这部著作后来迅速传播，引起了神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的关注。列昂纳多应召觐见，在皇帝面前受命解决五花八门的数学难题。自此，他与腓特烈二世以及宫廷学者们保持了数年的书信往来，交换数学难题。斐波那契数列衍生于《珠算原理》中的一道题目：

有一个人把1对兔子放在四面围着的地方，想要知道1年后有多少对兔子生出来。假定每个月1对兔子生下另外1对。而这新的1对在2个月后就生下另外1对。

这是一个算术问题，但是却不能用普通的算术公式算出来。我们可以用符号A表示一对成长的兔子，用B表示一对出生的兔子，用图来表示兔子繁殖的情形：这里实箭头表示照样成长，虚箭头表示生下小兔子。

如果知道这个月的繁殖情况，下个月的繁殖情况可以很容易写出来，只要把这个月里的A改写成AB（表示A还加上一对新生的兔子），而这个月的B改写成A（表示新生小兔已成长为大兔子）。

请读者自己试试写到第十二月的情形，然后再填写下一个表：

因此在第二年的1月1日应该有144对新生小兔子，所以总共有兔子233+144=377对。

这个结果实在令人吃惊，在你最初看到斐波那契的问题时，你估计兔子数目字最多不会超过50对，没有想到兔子繁殖得这么多。这只不过是一个假设问题，如果兔子真的是以这样的速率生育，我们的地球可能不是“人吃兔子”而是“兔子吃人”了！

数学家后来就把1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……的数列称为“斐波那契数列”，以纪念这位最先得到这个数列的数学家，而且用Fn来表示这数列的第n项。

音乐中的数学变换

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我们在初中的时候会学习平移的概念，在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移。其实在生活中平移现象也是随处可见。如图。

自动扶梯

缆车

那么，既然数学中存在着平移变换，音乐中是否也存在着平移变换呢？

数学原理

我们可以通过下图的两个音乐小节来寻找答案。如果我们把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去，就出现了音乐中的平移,这实际上就是音乐中的反复。把左图的两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为右图。

显然,这正是数学中的平移.我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心的情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的。比如,下图就是西方爵士乐圣者进行曲（When the Saints Go Marching In） 的主题,显然 ,这首乐曲的主题就可以看做是通过平移得到的。

如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴x),与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y),那么我们就在五线谱中建立了时间—音高的平面直角坐标系。于是,图中一系列的反复或者平移,就可以用函数近似地表示出来,如图所示,其中x是时间,y是音高。当然我们也可以在时间—音高的平面直角坐标系中用函数把两个音节近似地表示出来。

在这里我们需要提及19世纪的一位著名的数学家,他就是约瑟夫·傅里叶 (JosephFourier) ,正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰。他证明了所有的乐声,不管是器乐还是声乐, 都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和。

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音乐中不仅仅只出现平移变换,还可能会出现其他的变换及其组合,比如反射变换等等。下图的两个音节就是音乐中的反射变换。 如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中, 那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换,如图所示，同样我们也可以在时间—音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来。

通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果。

2008年，美国佛罗里达州立大学的克利夫顿·卡伦德教授、耶鲁大学的伊恩·奎因教授和普林斯顿大学的德米特里·蒂莫奇科教授以“音乐天体理论为基础”，利用数学模型，设计了一种新的方式，对音乐进行分析归类，提出了所谓的“几何音乐理论”，把音乐语言转换成几何图形，并将成果发表于4月18日的《科学》杂志上，他们认为用此方法可以帮助人们更好地理解音乐。

科学家们展示的音乐模型图

他们所用的基本的几何变换包括：平移、对称、反射（也称镜像，包括横向与纵向反射）、旋转等（指的五线谱，不适用于简谱）。平移变换通常表示一种平稳的情绪，对称（关于原点，x轴或y轴对称）则表示强调、加重情绪，如果要表示一种情绪的转折（如从高潮转入低谷或从低谷转入高潮）则多采用绕原点180度的旋转。

音乐中的数学(下)

乐器的形状也和数学有关

情境导入

小斌一家人都十分喜爱音乐，他们一家子在闲暇的时候还会举行小型的家庭音乐会，爸爸演奏自己拿手的低音号，小斌则弹奏钢琴，妈妈虽然不会演奏乐器，可嗓子不错，不时地高歌一曲。星期六的晚上，小明和爸爸练习完乐器以后，爸爸向他提出了一个有关乐器的问题：“你想过没有，为什么你的钢琴和我的低音号形状和结构有那么大的区别呢？”这个问题还真难倒了小斌。他从来不曾想过这个问题。不过这个问题里包含的数学知识对于刚上初中一年级的小斌来说确实有点难度。

低音号

数学原理

实际上，许多乐器的形状和结构都与各种数学概念有关，指数函数和指数曲线就是这样的概念。指数曲线由具有y＝kx形式的方程描述，式中k＞0。一个例子是y＝2x，它的坐标如图如示。

音乐的器械，无论是弦乐还是管乐，在它们的结构中都反映出指数曲线的形状。

对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别。

傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关。

平台钢琴的弦与风琴的管，它们的外形轮廓都是指数曲线

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小提琴

乐器的表现力为什么如此千差万别、色彩纷呈，这是由哪些因素决定的呢？

首先是乐器的材料。应该说任何材料都可能制成乐器，但是有优劣和雅俗之分。例如：小提琴的面板就要用杉木、云杉等，背板要用枫木。木材的纹理要细、匀、顺，而且要用一两百年以上的树木。对木材的干燥度、动态弹性模量、传声速度及密度等都有一定要求，才能得到优质的提琴。

高级钢琴的琴板则要求用意大利松木或挪威的云杉、银杉，美国的白松、红松、黑松等。这些材料的声阻低，传声快，传输损失小，共振峰高。提琴的指板、琴弓要用硬木或特殊的木材。弓弦要用马尾，而且还规定有一定的粗细和长度。钢琴的琴槌也会影响音质，琴槌的毛毡较硬，则音色脆亮，较软则音色比较柔和。

乐器的结构也对音质影响很大。特大的乐器都是低音乐器，如大号、巴松、大贝司、大胡等，其振动频率较低。

乐器的外形大小也同音量有关，三角钢琴比立式钢琴有更大的琴箱和琴板，自然音量也大。各种弦乐器都有共鸣箱即琴箱，有许多还有音孔。音孔的大小、形状、位置都会影响音质。琴马的大小、厚薄和形状、位置，也都会影响振动的传播。钢琴有了踏脚板，可以使演奏增加很大的变化。钢琴击弦点的位置不同也会使谐波成分发生变化并改变音色。管乐器喇叭口的形状不同会使辐射出去的声能多少有很大改变。笛子的长短、粗细，吹孔和音孔的大小、形状，吹口处边棱的厚薄，笛尾的长短、厚薄、粗细等都能够影响吹奏出来的音质。

至于乐器的演奏，则各行有各行的工夫。拉提琴的手、指、腕、臂上都有工夫。弓法、弓位、运弓角度和力度、拨奏的速度、力量、位置、 触点大小等，都会影响音质。钢琴的手指触键和踏瓣的使用，笛的运气及口、舌、指上的工夫，手风琴的运风箱，铜管乐器的吹气方向、角度、 口形等都与发声有关。

为什么有的人五音不全

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随着人们生活水平的日益提高，卡拉OK越来越受到大家的欢迎。当然了，这些业余歌手的水平也是参差不齐，有人唱得悦耳动听，有人的歌声却常让人觉得像鬼哭狼嚎，甚至是“噪音污染”，他们自己也常常自嘲是“五音不全”。那么为什么不同的人唱歌会有如此大的差别？其中的原因和数学有关系吗？

卡拉OK是时下流行的娱乐方式

数学原理

从物理学角度讲，声音可分为乐音和噪音两种。表现在听觉上，有的声音很悦耳，有的却很难听甚至使人烦躁。

声源体发生振动会引起四周空气振荡，这种振荡方式就是声波。声以波的形式传播着,我们把它叫做声波。最简单的声波就是正弦波。正弦（sine）这个词，实际上是源自拉丁文的sinus，意思是“海湾”。正弦曲线就很像海岸上的海湾。它也是最简单的波动形式。优质的音叉振动发出声音的时候产生的是正弦声波，而许多乐器发出的波形是很复杂的，但是正弦波仍然是最基本的。法国数学家傅立叶得出了一个重大发现，几乎任何波形，不管其形状多么不规则，全都是不同正弦波的组合与叠加。

当物体以某一固定频率振动时，耳朵听到的是具有单一音调的声音，这种以单一频率振动的声音称为纯音。但是，实际物体产生的振动是很复杂的，它是由各种不同频率的许多简谐振动所组成的，把其中最低的频率称为基音，比基音高的各频率称为泛音。如果各次泛音的频率是基音频率的整数倍，那么这种泛音称为谐音。基音和各次谐音组成的复合声音听起来很和谐悦耳，这种声音称为乐音。这些声音随时间变化的波形是有规律的，凡是有规律振动产生的声音就叫乐音。

如果物体的复杂振动由许许多多频率组成，而各频率之间彼此不成简单的整数比，这样的声音听起来就不悦耳也不和谐，还会使人产生烦躁。这种频率和强度都不同的各种声音杂乱地组合而产生的声音就称为噪音。各种机器噪音之间的差异就在于它所包含的频率成分和其相应的强度分布都不相同，因而使噪音具有各种不同的种类和性质。这就从一定程度上解释了为什么有些卡拉OK的歌手唱歌会如此让人难以忍受了。

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狼嚎

文艺复兴时期发现的音阶中，12个音符里头的第七个（现在叫做F#音）特别令人讨厌。它在同几乎任何一个其他音符相结合时，发出的声音都很刺耳，不但令人战栗，而且使听者觉得仿佛是饿狼正在附近嚎叫。这就是众所周知的“狼嚎音程”。教堂里把F#称为魔鬼的音符，在相当长的一段时期内规定：所有的音乐中都不准使用。

大自然音乐中的数学

情境导入

一年四季，昆虫的鸣叫此起彼伏。其中，蟋蟀的鸣叫尤为起劲，鸣声也多种多样。

蟋蟀

我国自古就有“蟋蟀上房叫，庄稼挨水泡”等谚语，以此作为人们识别天气、安排农耕的有利依据。难道在蟋蟀歌声的背后还有着我们不曾了解的数学秘密吗？

数学原理

其实，蟋蟀唱歌的频率可以用来计算温度。实际上，随着温度的升高，雄性蟋蟀鸣叫的频率会随之加快。通过计算蟋蟀鸣叫的频率次数，特别是一种名叫雪白树蟋的蟋蟀（英文名叫做Snowy Tree Cricket，拉丁文的学名叫做Oecanthus Fultoni，在我国又被称为玉竹蛉）的鸣叫次数，就能换算出大致的温度，我们以这种树蟋为例来说说怎么计算：

· 首先得找到这样的一只树蟋

· 14秒为一个间隔，计算蟋蟀鸣叫的次数

· 所得的次数加上38

· 这就是目前的温度（华氏F）

华氏（F）温度和摄氏（C）温度的换算公式为：

5（F- 50°）= 9(C-10°) 。式中F代表华氏温度，C代表摄氏温度。

这一现象最早是美国物理学家和发明家Amos Dolbear于1897年发现的。那一年，他发表了一篇名叫《The Cricket as a Thermometer》（作为温度计的蟋蟀）的文章。在文中，他总结出温度和蟋蟀鸣叫次数之间关系的Dolbear定律（这里N代表每分钟蟋蟀鸣叫的次数）：

计算华氏温度的公式

计算摄氏温度的公式

这一温度计算公式，只在华氏45度（摄氏7.22度）以上时才起作用。低于这个温度，蟋蟀就开始变得行动迟缓。如果温度过高，超过华氏90度（摄氏32.22度），蟋蟀就会大幅度地减少鸣叫的次数以节省能量。

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蟋蟀的鸣声多种多样。例如雄蟋蟀在孤单时，发出普通的鸣声“曲儿”，这种声音舒缓而悠长，旨在招引附近的雌蟋蟀。倘若找到了配偶，雄虫又“一、一”连叫几声，声音轻柔、短促，显得情意绵绵。

两只雄蟋蟀狭路相逢时，则又是另一番叫法。这时它发出的是“曲儿，曲儿， 曲儿”的高亢急促之声，这和雄虫在召偶时发出的声音完全不同。此时它是在盛气凌人地示威，如果对手也叫了起来，那么它会越叫越响，似乎要在气势上和精神上压倒对方。交战开始了，如果第一个回合占了上风，它就叫得更激烈，如果最后也终于取胜了，胜者会四处追寻败敌，显出一副威风凛凛的架势。有些败虫在刚刚摆脱被追赶的窘境时，偶尔也会发出几声有气无力的叫声，只是音调低沉，或许也是败者一种聊以自慰的手段吧。

此外，同一种蟋蟀在整个秋季的鸣声也有所不同。早秋，蟋蟀刚蜕壳成熟时，它所发出的声，比较低沉柔美。过了白露，蟋蟀日趋成熟，因而叫声显得更为洪亮，苍劲有力。而近寒露时，蟋蟀声音凄婉，似乎还带着颤音，说明它的生命活动已接近尾声了。

人们关心的是，为何蟋蟀能如此精确无误地把握住外界环境温度的变化？又为何能根据需要鸣唱出各种截然不同的音符？这确实是一些值得探讨的谜，有待于科学家进一步研究、探索，乃至发现。

古琴音乐中的几何学

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弹古琴的仕女

古琴，亦称瑶琴、玉琴、七弦琴，为中国最古老的弹拨乐器之一。它是在孔子时期就已盛行的乐器，在中国历史上流传了3000余年，不曾中断，20世纪初才被称作“古琴”，如今我们常在古装片中见到它的身影。在中国古代社会漫长的历史阶段中，“琴、棋、书、画”历来被视为文人雅士修身养性的必由之径。古琴因其清、和、淡、雅的音乐品格寄寓了文人凌风傲骨、超凡脱俗的处世心态，而在音乐、棋术、书法、绘画中居于首位。这样一件产生于史前，而且几乎完整不变地流传至今的乐器究竟与数学又有着什么千丝万缕的联系呢？

数学原理

众所周知，无论古今，不分地域，任何地方只要有人，就会有音乐，这就说明音乐必定有着某种属性，它是一种与时空无关的非民族性的属性，即音乐的自然属性。可这种自然属性究竟是什么呢？怎样才能将它表示出来呢？分形几何为这一问题的解答提供了一种可能。

分形几何的概念是由曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）在20世纪70年代提出来的。它的主要思想是说，在不规则现象表面所呈现的杂乱无章的背后仍存在着规律，这个规律就是在放大过程中呈现出的自相似性。

什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。那么对于古琴这样一件产生于史前，而且几乎完整不变地流传至今的乐器，它奏出的旋律是否也存在分形的规律呢？

古琴

据科学家研究，为了研究音乐的分形几何，首先必须把它加以量化，因此撇开音乐的社会学定义不讲，现在我们从数学上给它下一个定义：音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列。既然如此，那么这种有序的数学表达是什么？随意地敲击琴键不会产生音乐，不同音的有序排列组成了旋律，这种排列是分形的吗？如果答案是肯定的话，那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程i与其出现的几率F应满足下述关系：

F=C/iD或logF=C’-Dlogi

即音程i的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系,也就是说以logF和logi为纵横坐标作图,则各点均应在同一直线上。其中D为该作品的分形维数(分维)，C为比例系数，C’=logC。

我们也使用这一方案对我国古琴音乐进行分析。

首先选取《古逸丛书》中管平湖打谱的《幽兰》进行分析。对该曲中音程i及其出现几率F的统计结果如下表：

将音程i及其出现概率F分别取对数对应作图可以看到，在区间2≤i≤11，存在分形关系：

F=3.80/i3.15

为了更深入地理解这一问题，有关学者对大量的古琴曲进行了统计分析，结果表明，绝大多数的乐曲中均存在着分形关系。特别是古琴曲《阳春》和《华胥引》，它们有一个共同的特点是分形关系中的比例系数C＝1（即分形关系线延长与纵轴相交于O点），这与莫扎特的F大调《奏鸣曲》及A大调《奏鸣曲》完全一样。一般认为，莫扎特的这两首曲子有着图画般的绚丽，而古琴曲《阳春》和《华胥引》亦是音画交融，美妙无比。

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“分形几何”一词源自拉丁语Frangere，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度不受限制的话，可以无限地放大它的边界。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑。Mandelbrot集合是对传统几何学的挑战。

Mandelbrot集合

Mandelbrot集合局部放大

Mandelbrot集合局部放大

用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称为“分形艺术”。

“分形艺术”以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。这里值得一提的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。同时它的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。这种对称不同于欧几里得几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。

分形是一个崭新的概念，它诞生以后对传统的数学和物理学都产生了强大的冲击。因其思想新颖而独特，引起人们广泛的关注。

绘画与建筑中的数学(上)

点的艺术

情境导入

喜欢美术的朋友，尤其是对印象派有浓厚兴趣的读者应该不会对下面这幅油画感到陌生。没错，这幅让人迷醉的画幅就是法国新印象派主义画派的代表画家修拉的代表作——《大碗岛上的星期日下午》。当这幅画于1886年在最后一次印象派画展上展出时，引起了轰动。

大碗岛上的星期日下午

《大碗岛上的星期日下午》描绘的是巴黎西北方塞纳河中奥尼埃的大碗岛上一个晴朗的日子，游人们聚集在阳光下的河滨的树林间休息。有的散步，有的斜卧在草地上，有的在河边垂钓。前景上一大片暗绿色调表示阴影，中间夹着黄色调子的亮部，显示出午后的强烈阳光，草地为草绿色。画面上都是斑斑点点的色彩，太阳照射的地方有着强烈的闪光。整幅画有着一种在强烈阳光下睁不开眼睛的感觉，而那些投射在草地上的阴影，又陡增了人物树木的立体感。人的形象好像剪影，看不清形象与表情。 画面像是布满了纯色小点的碎裂面，但退远而观之，这些小点却好像融汇出一片图景，创造出一种未曾有过的美丽色彩和令人迷醉的朦胧感。那么这样一幅美轮美奂的图画中又蕴含着怎样的数学原理呢？

数学原理

19世纪80年代中期，当印象主义在法国画坛方兴未艾之际，又派生出了一种新的艺术流派——新印象主义。

新印象主义利用光学科学的实验原理来指导艺术实践。自然科学的成果证明，在光的照耀下一切物体的色彩是分割的。他们认为印象主义表现光色效果的方法还不够“科学”，主张不要在调色板上调和颜料，应该在画布上把原色排列或交错在一起，让观众的眼睛进行视觉混合，然后获得一种新的色彩感受。画面上的形象由若干色点组成，好似缤纷的镶嵌画，所以该画派又被称为“点彩派”。因为它的理论是色彩分割原理，也叫“分割主义”艺术。

法国印象派画家修拉

《大碗岛上的星期日下午》正是采用的这种画法。仔细看，画面是由一些竖直线和水平线组成，且它们不是连续线条，而是由许多小圆点组成的，整个画面也是由小圆点组成的，看起来井井有条，整体感强烈，并且显得特别宁静。

修拉是根据自己的理论来从事创作的，他力求使画面构图合乎几何学原理，他根据黄金分割法则，将画面中物象的比例，物象与画面大小、形状的关系，垂直线与水平线的平衡，人物角度的配置等，制定出一种全新的构图类型。注重艺术形象静态的特性和体积感，建立了画面的造型秩序。

画中人物都是按远近透视法安排的，并以数学计算式的精确，递减人物的大小和在深度中进行重复来构成画面，画中领着孩子的妇女正好被置于画面的几何中心点。画面上有大块对比强烈的明暗部分，每一部分都是由上千个并列的互补色小笔触色点组成，使我们的眼睛从前景转向觉得很美的背景，整个画面在色彩的量感中取得了均衡与统一。

在这幅画里，修拉还使用了垂直线和水平线的几何分割关系和色彩分割关系，描绘了盛夏烈日下有40个人在大碗岛游玩的情景，画面上充满一种神奇的空气感，人物只有体积感而无个性和生命感，彼此之间具有神秘莫测的隔绝的特点。

修拉的这幅画预示了塞尚的艺术以及后来的立体主义、抽象主义和超现实主义的问世，使他成为现代艺术的先驱者之一。

延伸阅读

其实，不论是设计或者作图，恰当地利用几何图形会更好地展现主题或产生奇异的效果。

比如集邮爱好者熟知的异形邮票，因为其形状区别于普通矩形邮票更容易成为集邮爱好者的藏品。

圆弧三角形轮廓

莱洛三角形（圆弧三角形）是一种特殊的形状，它是这样画成的，先画一个辅助正三角形ABC,然后以顶点A为圆心画弧过B和C，以B为圆心画弧过A和C，以C为圆心画弧过A和B。所得的三段圆弧组成的图形叫做莱洛三角形。一幅画或一件平面工艺品采用这种轮廓，将显得工整而不呆板，灵活但非随意，因为有角显得刚毅，有弧显得圆润，刚柔相济。上图就是利用圆弧三角形制成的一幅吉祥图案，内有一琴一鹤，外有松针环绕，寓意松鹤延年，健康长寿。

图标

有些图标用几何图形组成画面，简明生动，一目了然。右图中的四个图标分别表示射箭、短跑、滑冰和双人跳水。这些画面活灵活现地表示了所要表现的内容，如射箭运动员，脚踏弓箭步，推弓拉弦，稳如泰山，蓄势待发。

也可以利用几何图形来设计装饰画。下图中的少女，弹着琴弦，踏着舞步，回眸一望百媚生。她那弯曲的右臂，与身体围成一个正三角形。整个画面环绕着这个正三角形展开，从她的头、颈、身体、四肢直到和

衣服上的装饰花纹，数不清的平行线，长短不等，粗细有致。稳定的正三角形结构，使她的舞步稳健有力。斜倚的琴身，正六边形琴筒，角度略有变化，使画面平稳但不呆板。画面还有一些曲线，主要是圆周和圆弧，与直线光滑连接，刚劲里透露着娇柔。寥寥几笔，勾勒出明亮的眼和俏丽的嘴。通过平移，使直线与曲线有规律的重复，形成节奏和韵律。通过旋转，用线段组成绒球，为画面增添动感。

装饰画

另外，几何图形大量应用于平面镶嵌中。用多边形镶嵌出来的精美图案，让人赏心悦目、心旷神怡。在正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形才能镶嵌整个平面；在非正多边形中，三角形、任何非凸四边形可以镶嵌整个平面；对于凸五边形，只有特定的凸五边形才能镶嵌一个平面；对于凸六边形，也只有特定的凸六边形（三组对边平行）才可以平面镶嵌。

荷兰鹿特丹的球形小屋

台湾冬心花园里的三角面凉亭

在空间设计中，恰当地运用几何图形，会给人留下与众不同、焕然一新的印象。上图是荷兰鹿特丹市商业街上的一个球形小屋，它将球面沿着当中分成两半，下半球做柜台，上半球做阳伞，柜台留有缺口，工作人员可以自由进出。球面的外观设计成一个大橘子，老远就知道是卖水果的地方，既实用又美观，招来了很多游客。

在我国台湾的冬心花园里有多个造型奇特的凉亭。凉亭的屋顶像正方体的一角，由相聚于一个顶点的两两垂直的正方形面组成。整个凉亭像个大魔方。

透视在美术中的运用

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让我们来看两幅画：一幅是中世纪的油画（图1），明显没有远近空间的感觉，显得笔法幼稚，有点像幼儿园孩子的作品；另一幅是文艺复兴时代的油画（图2），同样有船、人，但远近分明，立体感很强。

为什么会有这样鲜明的对比和本质的变化呢？这中间究竟有什么不同？

数学原理

很简单，数学！这中间数学进入了绘画艺术。中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而到文艺复兴时期，描绘现实世界成为画家们的重要目标。如何在平面画布上真实地表现三维世界的事物，是这个时代艺术家们的基本课题。粗略地讲，远小近大会给人以立体感，但远小到什么程度，近大又是什么标准？这里有严格的数学道理。

文艺复兴时期的数学家和画家们进行了很好的合作，或者说这个时代的画家和数学家常常是一身兼二任，他们探讨了这方面的道理。

图3为15世纪德国数学家、画家丢勒著作中的插图，图中一位画家正在通过格子板用丢勒的透视方法为模特画像，创立了一门学问——透视学，同时将透视学应用于绘画而创作出了一幅又一幅伟大的名画。

我们不妨再欣赏一幅：达·芬奇的《最后的晚餐》。达·芬奇创作了许多精美的透视学作品。这位真正富有科学思想和绝伦技术的天才，他对每幅作品都进行过大量的精密研究。他最优秀的杰作都是透视学的最好典范。《最后的晚餐》描绘出了真情实感，一眼看去，与真实生活一样。观众似乎觉得达·芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在基督头上，从而使人们将注意力集中于基督。12个门徒分成3组，每组4人，对称地分布在基督的两边。基督本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于，表达基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态。草图中给出了原画及它的数学结构图。

达·芬奇的《最后的晚餐》草稿

达·芬奇的《最后的晚餐》

再看另外一幅，拉斐尔的《雅典学派》。这幅画是拉斐尔根据自己的想象艺术再现了古希腊时期数学与学术的繁荣，是透视原理与透视美的典范之作。由这些画可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。

拉斐尔的《雅典学派》

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数学对绘画艺术作出了贡献，绘画艺术也给了数学以丰厚的回报。画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何 。

在透视学的研究中产生的第一个思想是，人用手摸到的世界和用眼睛看到的世界并不是一回事。因而，相应的应该有两种几何，一种是触觉几何，一种是视觉几何。欧氏几何是触觉几何，它与我们的触觉一致，但与我们的视觉并不总一致。例如，欧几里得的平行线只有用手摸才存在，用眼睛看它并不存在。这样，欧氏几何就为视觉几何留下了广阔的研究领域。

画家们研究出来的聚焦透视体系，其基本思想是投影和截面取景原理。人眼被看做一个点，由此出发来观察景物。从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥。根据这一体系，画面本身必须含有投射锥的一个截景。从数学上看，这截景就是一张平面与投影锥相截的一部分截面。

17世纪的数学家们开始寻找这些问题的答案。他们把所得到的方法和结果都看成欧氏几何的一部分。诚然，这些方法和结果大大丰富了欧几里得几何的内容，但其本身却是几何学的一个新的分支，到了19世纪，人们把几何学的这一分支叫做射影几何学。射影几何集中表现了投影和截影的思想，论述了同一物体的相同射影或不同射影的截景所形成的几何图形的共同性质。这门“诞生于艺术的科学”，今天成了最美的数学分支之一。

美术中的平移和对称

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如图，团花是中国剪纸历史最悠久、运用率最广泛的一种形式。新疆古墓中出土的南北朝时期的五幅我国最早的剪纸实物，就是团花造型。 团花用途广泛，年节的窗花、婚礼的喜花、贺礼的礼花，甚至现代舞台装饰中都有它的身影。

团花

方胜

脸谱

而另一幅图中以两个菱形叠压相交而成的图形叫做方胜，是古代妇女的一种发饰，因为两相叠压,所以被赋予了连绵不断的吉祥寓意。还有我们喜爱的京剧脸谱。仔细观察这几幅图，它们有什么数学上的性质呢？

数学原理

把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做平面（或者空间）的一个平移。对称分为轴对称、中心对称、旋转对称、平移对称和滑移对称。如果两个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，你们这两个图形关于这条直线轴对称。 中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。如果将某个图形绕一个定点旋转定角以后，仍与原图形重合，就说这个图形是旋转对称，定点叫做旋转中心。其中平移对称图案指一个单元图案沿直线平行移动产生的，滑移=平移×轴对称。

只要稍加留意，就不难发现团花是轴对称图形也是旋转对称图形（旋转60°）。方胜则是中心对称图形。

对称，作为美的艺术标准，可以说是超越时代和地域的。从中国古代敦煌壁画到荷兰现代画家埃舍尔的作品，都是完美的对称的杰作。

敦煌壁画：圆光

埃舍尔：圆的极限

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在平面镶嵌中，也多运用了平移、对称等数学技巧。说到镶嵌，就不能不提荷兰现代画家埃舍尔。我们知道，规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般来说, 构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使用的方砖。

古希腊毕达哥拉斯学派已经发现：正多边形中只有三种能够镶嵌整个平面。如下图所示。

但埃舍尔对各种镶嵌都十分着迷，不管是规则的还是不规则的。他还特别钟爱所谓的“变形”：图形变化，且相互作用。

埃舍尔在他的平面镶嵌画中开拓性地使用了一些基本的图案，并应用了反射、滑动反射、平移、旋转等数学方法，获得了更多的图案。他还将基本的图形进行变形，成为动物、鸟和别的图形。变化后的图形服从三重、四重或六重对称，效果既惊人又美观。一位俄国数学家对他说：“你比我们中任何一位都懂得更多。”

埃舍尔镶嵌图案的构造

爬虫的平面镶嵌

骑马的人：平面的规则镶嵌

天与水之一

凡·高画作中的数学公式

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先让我们来欣赏后期印象派代表人物荷兰画家凡·高的两幅作品《星空》和《麦田上的乌鸦》。

《星空》

从这两幅高度抽象的画作中，我们可以发现一些旋涡式的图案。一直以来人们把这些漩涡看成是凡·高的一种艺术表现形式，但现在来自墨西哥的物理学家对此却有不同的看法。他认为，这些漩涡背后暗藏着一些复杂的数学和物理学公式。

数学原理

湍流问题曾被称为“经典物理学最后的疑团”，科学家们一直试图用精确的数学模型来描述湍流现象，但至今仍然没有人能够彻底解决。20世纪40年代，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了“柯尔莫哥洛夫微尺度”公式。借助这个公式，物理学家可以预测流体任意两点之间在速率和方向上的关系。

《星星下有柏树的路》

而来自墨西哥国立自治大学的物理学家乔斯·阿拉贡经过研究发现，在凡·高《星空》、《星星下有柏树的路》、《麦田上的乌鸦》这些画作里出现的漩涡正好精确地反映了这个公式。阿拉贡认为《星空》和凡·高其他充满激情的作品是他在精神极不稳定的状态下完成的，这些作品恰好抓住了湍流现象的本质。

事实上，创作《星空》的时候，凡·高正在法国南部圣雷米的精神病院接受治疗。当时的他已经陷入癫痫病带来的内心狂乱状态，时而清醒，时而混乱。阿拉贡相信，正是凡·高的幻觉让他得以洞察漩涡的原理。对于发病产生的那些幻觉，凡·高曾把它描述成“内心的风暴”，而他的医生则把它称为“视觉和听觉剧烈的狂热幻想”。

而一旦凡·高恢复平静，他便失去了这种描绘湍流的能力。1888年底，他在与好友高更吵了一架后割掉了自己的一只耳朵。在入院接受治疗期间，他因为服用了镇定药物而使内心变得非常平静。他在这期间创作的作品便找不到漩涡的影子。

对于凡·高在画作里表现的物理现象，哈佛大学神经病学的教授史蒂文·沙克特表示，他很有可能是受了癫痫症的影响，因为有人会在发病时产生新的、异常的意识，他的感觉和认知都会变得不正常，有时还会有灵魂出窍的经历。

虽然在画作里出现过漩涡的画家不止凡·高一个，比如表现主义画家爱德华·蒙克的名作《呐喊》里也充满了漩涡，但是阿拉贡通过研究发现其他画家笔下的漩涡都无法像凡·高笔下的那样精确地反映数学公式。

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如果说凡·高是不经意间将深奥的数学公式暗藏于画作之中，那么德国画家丢勒则是真正将数学与绘画相结合的艺术大师。

丢勒认为，研究数学能使自己的绘画水平获得提高，特别是几何、透视和一些射影几何概念。他对人体比例也做了大量工作。我们总能从他的艺术作品中发现无处不在的数学的影子。比如，他的著名的木刻画《忧郁症》描述的是一个因为数学患上忧郁症的天使。《忧郁症》的构图元素十分丰富：在一间不知是书斋还是作坊的小木屋外，高大健壮的天使手持圆规，托腮苦思，身旁发呆的爱神，打盹儿的狗，散落的工具——天秤、沙漏、锯子、刨子、圆球、多面体、木梯……林林总总，屋墙上那幅四阶幻方就是数学史上著名的“丢勒幻方”，最下一行中间两格标着1514，是丢勒母亲去世的年份。

这个忧郁的女子是谁？所有的一切，寓意何在？在流传于世的研究材料中，没有留下画家只言片语的解释。

在数学家眼中，画面中的丢勒幻方和那些复杂的多面体、球体，代表着神秘的数学世界。画家从《忧郁症》中看到了“铜版画对透视技法完美的表达”。

在丢勒流传于世的数以百计的素描中，透视、结构、比例成为他作画的依据，那些栩栩如生的兔子、马、树、花……形态之逼真、精确，可与实物相媲美。

丢勒还著有《筑城原理》，书中不仅有“要塞大炮”设计图，还有一个20万人的“城区规划图”。在1538年出版的《画家手稿》中，丢勒创造了许多德文的数学术语，如称椭圆为Eierlinie（蛋形线），称双曲线为Gabellinie（叉形线）等，并沿用至今。丢勒还设计了几种作图仪器，有用于画螺线和摆线的齿轮仪器，也有用于画椭圆和圆的圆规。

丢勒所作的圆锥曲线

丢勒所作的这幅图表明他对圆锥曲线的解释。他的椭圆略带蛋形，这意味着或者他相信截割圆锥的平面的倾角使椭圆在上端稍狭，或者他在计算时稍有错误。

绘画与建筑中的数学(下)

黄金分割在美术中的运用

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先让我们欣赏两幅名画，一幅是19世纪法国画家米勒的《拾穗者》，一幅是意大利文艺复兴时期画家波提切利的名画《维纳斯的诞生》。

《拾穗者》

《维纳斯的诞生》

在《拾穗者》中，米勒采用横向构图描绘了三个正在弯着腰,低着头,在收割过的麦田里拾剩落的麦穗的妇女形象,她们穿着粗布衣裙和沉重的旧鞋子,在她们身后是一望无际的麦田、天空和隐约可见的劳动场面。罗曼·罗兰曾评论说:“米勒画中的三位农妇是法国的三女神”。

波提切利的代表作《维纳斯的诞生》则表现了女神维纳斯从爱琴海中浮水而出，风神、花神迎送于左右的情景。此画中的维纳斯形象，虽然仿效希腊古典雕像，但风格全属创新，强调了秀美与清纯，同时也具有含蓄之美。

可能很多人都是从艺术鉴赏的角度来欣赏这两幅举世闻名的画作，其实，这两幅画作的画面能够这样美，不但因为作者有高超的绘画技巧和坚实的生活基础，而且由于画中隐藏着黄金比。

数学原理

在美学与建筑上，长宽之比约为1.618的矩形被认为是最和谐， 最漂亮的一种造型。

那么什么是黄金矩形呢？如右图的矩形分割，如果满足 x∶y＝(x＋y)∶x 的条件，那么，这个矩形就叫做黄金矩形。如果设 x＝1，解上述的比例式，可得y=1.618，此即黄金比例。黄金比例普遍存在于自然界中，以人体来说，如果下半身长度（脚底到肚脐）占身高的 1/1.618=0.618，则是最完美的身材。

如果用E来分割直线段AB，使较长线段AE与较短线段BE之比和整个线段AB与AE之比相等，那么就得到一个黄金比。现代数学家们用f∶1来表示AE∶BE；这个的意义是“切割”，可算出了的值为1.618034……。传统上表示黄金分割的三个几何图形是：直线段的黄金分割、矩形的黄金分割和正五边形的黄金分割。

古希腊的巴特农神殿和文艺复兴时代巨匠达·芬奇自画像都出现这种造型。

古希腊的巴特农神殿

现在我们再来看米勒的《拾穗者》，画中标出的每二段相除都是1.618, 我们看起来之所以觉得赏心悦目，因为符合1.618的图形是最美的。

而波提切利的《维纳斯的诞生》在构图也使用了黄金分割率，维纳斯站于整幅画的左右黄金分割线的右边一侧。据后人分析研究，在整幅作品中，至少有7个黄金分割。

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17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”

人们发觉自然界许多形体呈现的形态, 如树枝的叉点、四肢动物的前肢位置和整体的比例、人上身和下身的比例等等，都呈现一个特别美丽的形式。中世纪著名画家达·芬奇特别留意绘画中的透视原理和线段间的比例关系，最早提出“黄金分割”这一名称。自此，这个代表完美的比律，就广泛地被应用在宗教建筑和绘画中。

这种比例也被严格的应用于艺术创作中，尤其是文艺复兴时期的古典画作中。如达·芬奇的《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》，拉斐尔的《大公爵的圣母像》等。

达·芬奇的素描《维特鲁威人》甚至出现在意大利发行的一欧元硬币上，表明该作品受人喜爱的程度并未消减。对于这幅画，达·芬奇自己阐述：建筑师维特鲁威斯在他的建筑论文中声言，他测量人体的方法如下：4指为一掌，4掌为一脚，6掌为一腕尺，4腕尺为一人的身高。4腕尺又为一跨步，24掌为人体总长。两臂侧伸的长度，与身高等同。从发际到下巴的距离，为身高的1/10。自下巴至脑顶，为身高的1/8。胸上到发际，为身高的1/7。乳头到脑顶，为身高的1/4。肩宽的最大跨度，是身高的1/4。臂肘到指根是身高的1/5，到腋窝夹角是身高的1/8。手的全长为身高的1/10。下巴到鼻尖、发际到眉线的距离均与耳长相同，都是脸长的1/3。

维特鲁威人

《维特鲁威人》也是达·芬奇以比例最精准的男性为蓝本，这种“完美比例”也即是数学上所谓的“黄金分割”。

虽然黄金分割较多应用于西方的油画作品中，但其实这一思想在中国古代绘画中也有所体现，比如中国古代画论中所说“丈山尺树，寸马分人”，讲了山水画中山、树、马、人的大致比例，其实也是根据黄金分割而来。古琴的设计“以琴长全体三分损一，又三分益一， 而转相增减”， 全弦共有十三徽。 把这些排列到一起，二池、三纽、五弦、八音、十三徽，正是具有1.618之美的斐波那契数列。

拱——曲线数学

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在河北省石家庄东南约40千米赵县城南2.5千米处，坐落着一座闻名中外的石桥——赵州桥。它横跨洨水南北两岸，建于隋朝大业元年至十一年（605-616），由匠师李春监造。因桥体全部用石料建成，俗称“大石桥”。

赵州桥远景

赵州桥结构新奇，造型美观，全长50.82米，宽9.6米，跨度为37.37米，是一座由28道独立拱券组成的单孔弧形大桥。在大桥洞顶左右两边拱肩里，各砌有两个圆形小拱。虽然赵州桥距今已有1300多年的历史，但仍屹立不倒。这和其设计采用具有美丽数学曲线的拱是分不开的。

数学原理

赵州桥近景

早在1300多年前，我国劳动人民就想到了把赵州桥筑成拱桥，这是中国劳动人民的智慧和才干的充分体现。

首先，采用圆弧拱形式，改变了我国大石桥多为半圆形拱的传统，我国古代石桥拱形大多为半圆形，这种形式比较优美、完整，但也存在两方面的缺陷：一是交通不便，半圆形桥拱用于跨度比较小的桥梁比较合适，而大跨度的桥梁选用半圆形拱，就会使拱顶很高，造成桥高坡陡、车马行人过桥非常不便；二是施工不利，半圆形拱石砌石用的脚手架就会很高，增加施工的危险性。为此，赵州桥的设计者李春和工匠们一起创造性地采用了圆弧拱形式，使石拱高度大大降低。赵州桥的主孔净跨度为37.02米，而拱高只有7.25米，拱高和跨度之比为1∶5左右，这样就实现了低桥面和大跨度的双重目的，桥面过渡平稳，车辆行人非常方便，而且还具有用料省、施工方便等优点。

其次，采用敝肩。这是李春对拱肩进行的重大改进，把以往桥梁建筑中采用的实肩拱改为敝肩拱，即在大拱两端各设两个小拱，靠近大拱脚的小拱净跨为3.8米，另一拱的净跨为2.8米。这种大拱加小拱的敝肩拱具有优异的技术性能，首先可以增加泄洪能力，减轻洪水季节由于水量增加而产生的洪水对桥的冲击力。每逢汛期，水势较大，对桥的泄洪能力是个考验，4个小拱就可以分担部分洪流，据计算4个小拱可增加过水面积16％左右，大大降低洪水对大桥的影响，提高大桥的安全性。其次敝肩拱比实肩拱可节省大量土石材料，减轻桥身的自重，据计算4个小拱可以节省石料26立方米，减轻自身重量700吨，从而减少桥身对桥台和桥基的垂直压力和水平推力，增加桥梁的稳固。第三，增加了造型的优美，4个小拱均衡对称，大拱与小拱构成一幅完整的图画，显得更加轻巧秀丽，体现建筑和艺术的完整统一。第四，符合结构力学理论，敝肩拱式结构在承载时使桥梁处于有利的状况，可减少主拱圈的变形，提高了桥梁的承载力和稳定性。

李春雕像

最后还采用了单孔。我国古代的传统建筑方法，一般比较长的桥梁往往采用多孔形式，这样每孔的跨度小、坡度平缓，便于修建。但是多孔桥也有缺点，如桥墩多，既不利于舟船航行，也妨碍洪水宣泄；桥墩长期受水流冲击、侵蚀，天长日久容易塌毁。因此，李春在设计大桥的时候，采取了单孔长跨的形式，河心不立桥墩，使石拱跨径长达37米之多。这是我国桥梁史上的空前创举。

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拱为常见建筑结构之一，形态定义为中央上半成圆弧曲线。拱早期经常运用于跨进大的桥梁或门首。多年以来，拱曾经有过许多数学曲线的形状（例如圆、椭圆、抛物线、悬链线），从而形成半圆形拱、内外四心桃尖拱、抛物线拱、椭圆拱、尖顶或等边拱、弓形拱、对角斜拱、上心拱、横拱、马蹄形拱、三叶形拱、凯旋门拱、减压拱、三角形拱、半拱、横隔拱、实拱或伪拱等。

实质上，拱是建筑上跨越空间的方法。拱的性质使应力可以比较均匀地通体分布，从而避免集中在中央。楔形拱石构成拱的曲线。中央是拱顶石。所有的石头构成一个由重力触发的锁定机构。重力的拉力使拱侧向外展开（推力）。反抗推力的是墙或扶壁的力。

在发明和利用拱之前，建筑结构依靠的是柱和梁，像在希腊建筑中所发现的；或者是阶石，像在埃及金字塔中所看到的。罗马建筑师们最先广泛应用并发展半圆形拱。除了拱以外，他们还发现并利用混凝土和砖，于是掀起了新的建筑革命。用了拱、拱顶和圆顶，罗马人就能够取消横梁和内柱。拱使他们可以把结构的重量重新安置在较少而且较结实的支撑物上。结果内部空间就宽敞了。在拱发明之前，结构必须在里面和外面都横跨在柱上，柱间距离必须仔细计算，以防横梁在过大的应力下折断。

罗马拱以圆形为基础。多少世纪以前，建筑师们就开始不用圆，起先是用椭圆（或卵形）拱，后来用尖顶拱。这样一来，结构变高了，使光照更好，空间更大。拱的形状决定着结构的哪些部分承受重量。半圆形罗马拱跨距上的载重由墙承担，而哥特式尖顶拱的载重则经过拱传到建筑物扶壁的外部，使它可以用较高的顶篷。

超级大穹顶

即使在现在，拱并未过时。和所有建筑思想一样，它的概念和用途还在发展中。随着新型建筑材料的发明和利用，建筑师可以把许多数学曲线和形状结合起来，用在他们的创造中。

建筑物中的对称

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先让我们欣赏两幅图片，相信大家对图片中的建筑不会陌生。

泰姬陵

天坛

这两座举世闻名的建筑虽然来自不同的国家，设计风格也迥然不同，但是细心的读者会发现，它们都有一个共同的特点——对称。为什么建筑师们对对称青睐有加呢？在建筑中使用对称设计，除了美观之外还有什么好处吗？

数学原理

其实，只要留心就会发现，我们在数学当中学习过的对称无论在科学还是艺术中都扮演了极为重要的角色。

在建筑中最容易找到对称性的例子，其中也不乏具有相当艺术价值的经典建筑，如印度的泰姬陵、德国的科隆大教堂和中国的天坛。因为从功能的角度来看，对称性的建筑通常具有较高的稳定性，在建造的时候也更容易实现。左右对称的建筑，在视觉上就给人以稳定的印象。

泰姬陵通体用白色大理石雕刻砌成，在主殿四角，是四根圆柱形的高塔。这四根高塔的特别之处，在于都是向外倾斜12度。这种布局，使主殿不再是孤单的结构，烘托出了安详、静谧的气氛。

对称性可分为分立对称性和连续对称性。对称操作是有限个的对称属于分立对称。比如对于镜面对称，只包含保持对象不变和镜面翻转两种操作。这两种操作的任意组合后的结果仍然是这两种操作中的某一个。泰姬陵就是典型的分立对称。连续对称性用简单的例子就可以说明。比如说，在纸上画一个圆，对这个圆相对圆心做任意小角度的旋转，这个圆保持不变，这就是连续对称性。北京的天坛就是连续对称的范例。

天坛的建筑体现了中国传统文化中天圆地方的思想。天坛祈年殿的建筑充分体现了“天圆”的和谐构思。 此殿有3层圆顶，表示“天有三阶”，釆用深蓝色的琉璃瓦与蓝天相配，甚为融洽、美观。祈年殿建在有3层汉白玉石圆栏杆的祈年坛上，殿的基础还有3层不明显的台阶，因此共有9个按同一对称轴线上下排列的同心圆。此建筑还有正方的围墙，代表“地‘方’”。整个建筑具有中华文化特色，给人以无穷遐想。

类似的，建筑的连续对称性除了具有其美学价值的同时，在多数情况下，其广泛应用还是基于连续对称性所带来的实用价值。圆形的结构也具有较高的稳定性，此外，使用同量的材料，圆形的结构具有最大的容量，这就是很多仓库建成圆柱形的原因。

延伸阅读

世界上最大的对称建筑群

故宫在北京。 1403 年，我国明朝永乐皇帝下令迁都北京，在元朝大都的基础上建立了北京城。1557 年，明朝嘉靖皇帝在城南外加筑外城，形成了今天的“凸”字形平面的北京城，从南端的永定门向北经皇宫、景山到钟鼓楼，直到北城墙结束，形成了一条 7.5千米长的中轴线，这就是北京城的对称轴。它可谓世界上最长的对称轴了。在这条中轴线的东西两侧，对称排列着内外两城最重要的建筑群，东面是天坛，西面是山川坛，以及太庙和社稷坛。进入午门之后，所有的建筑物都采用了更加严格的对称排列形式。其中，只有代表皇权统治中心的前朝三大殿——太和殿、中和殿和保和殿，及内廷后三宫——乾清宫、交泰殿和坤宁宫，才端端正正地布置在正中央，且每座大殿上的蟠龙宝座，都坐落在中轴线上。

新中国成立后,作为人民首都的北京城,打破了旧的格局,新扩建的天安门广场,已成为人民首都政治生活的心脏,而旧日雄居全城之中的紫禁城,则已退居到“后院”的位置。但是,新建的人民英雄纪念碑、毛主席纪念堂,仍然保持在南北向的中轴线上。

马来西亚首都吉隆坡的双子塔是马来西亚首都吉隆坡的标志性城市景观之一，也是目前世界上最高的双子楼。

双塔大厦共88层，高1483英尺（452米），它是两个独立的塔楼并由裙房相连。独立塔楼外形像两个巨大的玉米，故又名双峰大厦。双子塔的设计风格体现了吉隆坡这座城市年轻、中庸、现代化的城市个性，突出了标志性景观设计的独特性理念。

德国科隆大教堂据说是世界上建造时间最长的建筑。它从1248年开始，以后陆续修建，直至1880年最后建成，历时630多年。该教堂占地8000平方米，建筑物本身占6000多平方米，前有一长方形广场。建筑物全部由磨光石块砌成，正门有两座与门墙相连的双尖塔，塔高161米，像两把锋利的剑直插云霄。双塔内藏有五口大钟，最大的重约24吨。整个教堂还有许多尖塔。这个歌特式建筑，外观十分巍峨，具有神秘的宗教色彩。

建筑物中的几何型

情境导入

下图中的两座建筑一古一今，一座是历史悠久的埃及金字塔，一座是奥运场馆水立方。它们的外形带有鲜明的“几何”印记，金字塔无疑是四面体或四棱锥的最纯粹表现，而“水立方”则体现了基本几何体——长方体建筑的设计思想。为什么这两座相差几千年的著名建筑都选择用几何体来表现呢？几何和建筑之间究竟有着怎样的渊源呢？

金字塔

水立方

数学原理

众所周知，金字塔是古代埃及人民智慧的结晶，是古代埃及文明的象征。散布在尼罗河下游西岸的金字塔大约有80座，它们是古代埃及法老(国王)的陵墓。埃及人称其为“庇里穆斯”，意思是“高”。从四面望去,它都是上小下大的等腰三角形,很像中文“金”宇,所以,人们就形象地叫它“金字塔”。

19世纪的考古学家们一致认为，金字塔能在如此巨大的尺度下做到精确的正四棱锥，充分显示了古埃及人的几何能力。而其中的大金字塔各部位的尺寸也都含有重大的意义。

例如大金字塔斜面面积，与将高度当作一边的正方形的面积几乎一致。

埃及大金字塔

测量大金字塔的三角面的高度，和底边周围的长度之间的比率，就出现了接近圆周率的值。亦即若画一个以高度为半径的圆，则其圆周就等于4个底边的长度。

又如，若用底边的1／2除大金字塔的斜面长度(斜边距离)的话，就会出现1.618的黄金比率分割。自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，而广泛地用于神殿和雕刻中。但在比古希腊还早2000年以上所建的大金字塔，它就已被完全采用了。

以上只不过是少数几则例子，因为大金字塔的神秘数字还不仅于此，许多学者就致力于寻找金字塔的几何学特性，相信在不久的将来会有更多令人兴奋的新发现。

日本著名的建筑大师安藤忠雄曾说：“建筑的本质是空间的构建和场所的确立，而并不是简单的形式陈述，人类在其全部发展历史中运用几何性满足了这样的要求，它是与自然相对的理性象征。即几何学是表现建筑和人的意志的印记，而不是自然的产物。”我国著名的奥运游泳中心“水立方”就是这样一座“表现人类意志印记”的建筑。“水立方”在最初设想是要体现“水的主题”。外籍设计师最初提供的是一个波浪形状的建筑方案，三名中方设计师以东方人特有的视角和思维提出了基本几何体——长方体建筑的设计思想，在他们看来，东方人更愿意以一种含蓄、平静的方式来表达对水的理解——“水，也可以是方的，不一定都是波浪。”中方设计师的“方盒子”造型得到了外籍设计师的认可，在此基础上，外籍设计师们又创造性地为这个方盒子加入了不规则的钢结构和“水分子”膜结构创意。最终，“水立方”以基本几何体作为基准，在几何体基础上以不规则的钢结构和膜结构加以变异，体现出简单、纯净的风格。

延伸阅读

在建筑空间艺术中，有限的空间必然表现为各种不同的几何形式，建筑

罗马斗兽场

的构成离不开几何体。所以，有人说几何性是建筑的一种天然属性，任何一个建筑师也不能使他的作品脱离这种属性。建筑师们在很早就意识到这一点并开始使用它，例如吉萨尔金字塔是四面体最纯粹的表现，罗马的斗兽场则充分体现了椭圆的魅力，古罗马的水道桥则充分表现了直线的力量，中国的长城则表现出曲线的美感。

水道桥

几何学，严格地说是欧几里得几何学，对建筑学的发展的互动是客观存在的。这种作用主要表现为两种方式：第一种是影响建筑设计过程中对方案的描述，即影响设计媒体，这里最具代表性的就是透视学与阴影构图理论的应用，它们也是对建筑形式产生互动影响的潜在因素；第二种是影响建筑设计成果形式，我们发现，绝大多数的建筑形式都可以划分为基本欧式几何形体的穿插组合，比如角锥、棱柱、立方体、多面体、网格球顶、三角形、正方形、平行四边形、圆、球、角、抛物线、悬链线、双曲抛物面、弧、椭圆等等。

各种几何形体在建筑设计中都可以被运用，在这方面并无任何限制。仅仅是它们各具有不同的特性。矩形、圆形、三角形等被运用得最多，建筑的内部空间和外部形象体现出来的三维几何体以长方形、圆柱、菱柱等最为常见。至于各种几何体的组合运用，譬如重复、并列、相交、相切、切割、贯穿等等，更是变幻无穷，没有一定之规。

方形

线条

圆柱

曲线

圆形

凯旋门与立交桥

情境导入

在现代化的城市中，为了节约时间、减少交通事故，到处可以见到立交桥。

立交桥我们常常看到在有纵横2个方向的十字路口，需要建成2层的立交桥。那么，如果3条马路交叉，或者说从马路交叉中心向6个方向有着马路的情况，那应该是几层立交桥呢？假如某个中心向外辐射10条马路，要建多少层的立交桥呢？法国巴黎的凯旋门，就是向四周辐射10条马路，它是采用什么形式的立交桥呢？

数学原理

一般来说，2条马路交叉需要建2层的立交桥，3条马路交叉需要3层的立交桥，以此类推，四周辐射10条马路，即5条马路交叉应该建5层的立交桥。但是凯旋门并没有建那种多层的立交桥，而是采用中心的环行马路沟通10条马路，各条马路来的汽车都要汇集在中心地带的环行马路，按逆时针行车，然后驶向应去的方向。因此，一般多条马路汇集在一起，利用环行马路是比较实际的简单办法。

延伸阅读

几千年来，数学一直是用于设计和建造的一个很宝贵的工具。它一直是建筑设计思想的一种来源，也是建筑师用来得以排除建筑上的试错技术手段。下面我们列出一部分长期以来用在建筑上的数学概念：角锥、棱柱、黄金矩形、视错觉、立方体、多面体、网格球顶、三角形、毕达哥拉斯定理、正方形、矩形、平行四边形、圆、半圆、球、半球、多边形、角、对称、抛物线、悬链线、双曲抛物面、比例、弧、重心、螺线、螺旋线、椭圆、镶嵌图案、透视等等。

影响一个结构的设计的有它的周围环境、材料的可得性和类型，以及建筑师所能依靠的想象力和智慧、数学能力。

建筑师们利用品种繁多的现成建筑材料——石、木、砖、铁、钢、玻璃、混凝土、合成材料（如塑料）、钢筋混凝土等等，运用数学思想，设计出各种形状的构造，如双曲抛物面、八边形的住宅、网格结构、抛物线飞机吊架等等。建筑是一个进展中的领域，建筑师们在研究、改进、提高、利用过去的思想的同时，也创造新思想。

上海明天广场

重庆世界贸易中心

21世纪将会设计出什么类型的结构和居住空间呢？什么对象能填充空间呢？如果设计特点包括预制、适应性和扩展性，则平面和空间镶嵌的思想将起重要的作用。能镶嵌平面的任何形状像三角形、正方形、六边形和其他多边形可以改造得适用于空间居住单元。另一方面，建筑师可能要考虑填塞空间的立体，最传统的是立方体和直平行六面体。有些模型只可用菱形十二面体或戴头八面体。

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