前言：定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解。 如需要本堂内容的word电子版本，请私信与我！ 想了解更多精彩内容，快来关注全国初中数学压轴 反比例函数作为初中数学的难点，其隐含结论之多，计算复杂度之大，甚至超过了二次函数，但如果掌握了一定的解题技巧，许多提还是可以秒杀的。反比例函数的解答题策略主要有两个： 一是利用面积转化为K的几何意义； 二是设而不求。 如果掌握了一些解题的模型和二级结论相信可以节省不少答题时间。今天我们就主要来研究反比例函数的一些几何特征。 来，我们看下面选填例题 一．填空题（共5小题）1．（2020·日照）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝k/x（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是（ ）． 2．（2019·日照）如图，已知动点A在函数y=4/x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于（ ）． 3．（2018·日照）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y＝m/x（m＜0）与y＝x²﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为（ ）． 4．（2017·日照）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝k/x（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为√2，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为（ ）． 5．（2016·日照）如图，直线y＝﹣3/4x+3与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是（ ）． 参考答案与试题解析一．填空题（共5小题） 1．（2020·日照）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝k/x（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 （50/3）． 【分析】 将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y=60/x，由平行四边形的性质可得OB＝10，BE＝6，由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解． 【解答】 解：∵双曲线y=k/x(k＜0，x＜0)经过点F（﹣12，5）， ∴k＝﹣60， ∴双曲线解析式为y=60/x． ∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10， ∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y=60/x上， ∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6． ∵△BOC和△BGC关于BC对称， ∴BG＝BO＝10，GC＝OC． ∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10， ∴EG＝√10²-√6²=8． 延长EG交x轴于点H， ∵EG∥y轴， ∴∠GHC是直角， 在Rt△GHC中，设GC＝m，则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2， 则有m²＝2²+（6﹣m）²， ∴m=10/3， ∴GC＝10/3＝OC， ∴S△BOC=1/2×10/3×10=50/3， 故答案为：50/3． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2019·日照）如图，已知动点A在函数y=4/x(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于（2.5π ）． 【分析】 作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，得到△GEM∽△DNF，于是得到DF/GM=NF/EM=4，设GM＝t，则DF＝4t，然后根据△AEF∽△GME，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解． 【解答】 解：作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G， ∴△GEM∽△DNF， ∵NF＝4EM， ∴DF/GM=NF/EM=4， 设GM＝t，则DF＝4t， ∴A（4t，1/t）， 由AC＝AF，AE＝AB， ∴AF＝4t，AE＝1/t，EG＝1/t， ∵△AEF∽△GME， ∴AF：EG＝AE：GM， 即4t：1/t＝1/t：t，即4t²＝1/t²， ∴t²＝1/2， 图中阴影部分的面积＝[90π·(4t)²]/360+[90π·(1/t)²]/360＝2π+1/2π＝2.5π， 故答案为：2.5π． 【点评】 本题考查了反比例函数y＝k/x（k≠0）系数k的几何意义，扇形的面积，也考查了相似三角形的判定与性质． 3．（2018·日照）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y＝m/x（m＜0）与y＝x²﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为 (﹣2≤m＜﹣1) ． 【分析】 根据题意可知抛物线在第四象限内的部分，然后根据反比例函数y＝m/x（m＜0）与y＝x²﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，可以得到不等式组，从而可以求得m的取值范围． 【解答】 解：∵y＝x²﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝±2，当x＝1时，y＝﹣3， ∴抛物线y＝x²﹣4在第四象限内的部分是（0，﹣4）到（2，0）这一段曲线部分， ∵反比例函数y＝m/x（m＜0）与y＝x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2， ∴m/1≥-2，m/1＜-1， 解得，﹣2≤m＜﹣1， 故答案为：﹣2≤m＜﹣1． 【点评】 本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答．
4．（2017·日照）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝k/x（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为√2，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 （1+√5）
【分析】 过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN＝√2，OM＝AN＝k/√2，求出B（k/√2+√2，k/√2﹣√2），得出方程（k/√2+√2）·（k/√2﹣√2）＝k，解方程即可． 【解答】 解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示： 则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， 在△AOM和△BAN中，（∠AOM=∠BAN，∠AMO=∠BNA，OA=BA） ∴△AOM≌△BAN（AAS）， ∴AM＝BN＝√2，OM＝AN＝k/√2， ∴OD＝k/√2+√2，BD＝k/√2﹣√2， ∴B（k/√2+√2，k/√2﹣√2）， ∴双曲线y＝k/x（x＞0）同时经过点A和B， ∴（k/√2+√2）·（k/√2﹣√2）＝k， 整理得：k²﹣2k﹣4＝0， 解得：k＝1±√5（负值舍去）， ∴k＝1+√5；
故答案为：1+√5． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
5．（2016·日照）如图，直线y＝﹣3/4x+3与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是 (√231/5)
【分析】 过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，利用角的正弦求出CP的值，再根据勾股定理即可求出PQ的长度． 【解答】 解：过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示． 当x＝0时，y＝3， ∴点B的坐标为（0，3）； 当y＝0时，x＝4， ∴点A的坐标为（4，0）． ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝√OA²+√OB²＝5， ∴sinB＝OA/AB=4/5． ∵C（0，﹣1）， ∴BC＝3﹣（﹣1）＝4， ∴CP＝BC·sinB＝16/5． ∵PQ为⊙C的切线， ∴在Rt△CQP中，CQ＝1，∠CQP＝90°， ∴PQ＝√CP²-√CQ²=√231/5． 故答案为：√231/5．
【点评】 本题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键． |
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