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一、反比例函数的基本性质 1、反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交； 2、k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况； 3、双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x及y=-x. 4、反比例函数y=k/x中| k |的几何意义是： | k |等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线的矩形的面积。 二、反比例函数的基本模型 模型一、对称性 结论： ∵正比例、反比例函数的图象都是关于原点成中心对称图形， ∴①OA=OB，OC=OD； ②四边形ACBD是平行四边形；
模型二：双曲矩形 结论：1、不论P在双曲线上何处， 2、当OA在x轴上平移时， 同理：当OB在y轴上平移时， 等底同高可证，证明略 模型三：双曲三角形 结论： 1、不论P在双曲线上何处， 2、不论O'在y轴上何处，
同底等高可证，证明略 模型四：等分面积 结论：
3、若Q为AB中点，则P也必为BC中点。 由2可得，证明略
模型五：三角转梯形 结论：
模型六：斜向平行线 结论：过双曲线上任意两点P、Q分别作PC⊥y轴于C，QA⊥x轴于A，连结AC，则PQ∥AC
模型七：等长线段 结论：过双曲线上任意两点P、Q作直线PQ分别交x轴、y轴于点M、N， 则PN=QM
模型八：等角1——平四型 结论：P、Q在双曲线上，A、B分别在y轴和x轴上，若四边形ABQP为平行四边形， 则∠1=∠2，∠3=∠4
证明：过P作DE⊥y轴于E过Q作DC⊥x轴于C交DE于D，延长PQ交x轴、y轴于M、N 由模型七得
∵ABQP为平行四边形 ∴PQ∥AB，AP∥BQ，PQ=AB，AP=BQ ∴∠2=∠6=∠EPA ∵∠PEA=∠BCQ=90° ∴△PEA≌△BCQ（AAS）∴PE=BC=a， ∵OM=a b，OC=b，∴CM=OM-OC=a ∴BC=CM ∴△QCB≌△QCM，∴∠2=∠5， 又∵∠1=∠5，∴∠1=∠2 同理可证∠3=∠4
模型九：等角2——对称型 结论：正比例函数图象与双曲线交于Q、R两点， 则∠1=∠2，∠3=∠4
证明：作P点关于点O对称点S， 连SR,SP,SQ 易证四边形PQSQ为平行四边形 由模型八可知∠2=∠5， 又∵PR∥QS，∴∠5=∠1， ∴∠1=∠2 ∵∠2 ∠4=90°，∠3 ∠1=90° ∴∠3=∠4 模型十：等腰黄金比 结论：P、Q都在双曲线上，OP=PQ，OP⊥PQ，
证明：过P作BC⊥y轴于C，过Q作BA⊥x轴于A交BC于B ∵P（a，b）∴PC=a，OC=b ∵OP=PQ，OP⊥PQ， ∴∠CPO ∠COP= 90°， ∠CPO ∠BPQ=90° ∴∠COP=∠BPQ ∵∠OCP=∠PBQ，∴△OCP≌△PBQ ∴PC=BQ=a，OC=PB=b ∴B（a b，b-a），Q（a b，b-a） 连AC，由模型六可知，PQ∥AC
模型十一：平行黄金比 结论：P在双曲线上，过P作PA⊥x轴于A， 过A作AQ∥OP交双曲线于Q.
证明：过P作BC⊥y轴于C,过Q作BD⊥x轴于D,交BC于B
由AQ∥OP易证△OAP≌△ADQ
文章来源：数学新讲堂，作者：New Math Forum；如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请联系微信alarmact处理 |
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