你认识几何分布吗？

概率分布可以分为离散型概率分布和连续型概率分布。这篇文章介绍离散型概率分布中的一种：几何分布。

知识点：

• 伯努利试验
• 期望
• 几何分布 Geometric distribution

在介绍几何分布之前，先来了解一下伯努利试验。

定义：是在随机试验的条件下，结果只有两种可能：发生或者不发生的一种试验。

示例：比如将考试成绩判定为合格或不合格 、生男孩或者生女孩、投掷硬币为正面或反面等等。每一次试验的结果只有两种可能，并且每次试验的结果之间相互独立，互不干扰。比如A及格与B能否及格没有关系。

然后我们来补充一个期望的概念。

定义：是指实验中每个可能出现的结果乘以其概率的总和，反应随机变量平均取值的大小，即在多次试验的情况下预测能取得的结果。

示例：在一个打靶游戏中，打中区域对应得到的分值与其概率如下图所示：

（如果没能打中靶子，则为“其他”，对应概率为0.35）

本例中的“其他”代表没有打中靶子，视为得0分。求相应的期望如下：

E(x)=10×0.05+9×0.1+8×0.1+7×0.2+6×0.2+0×0.35=4.8分

意为在多次打靶之后，期望的打靶得分为4.8分。

接着来了解一下几何分布。

定义：指在伯努利试验中，试验r次才得到第一次成功的机率。即前r-1次都失败，在第r次成功的概率。

示例：射箭第几次能够正中靶心、有放回的情况下第几次能取到期望颜色的小球等等，求这种多次进行的试验下第几次能够达到想要的目的。

公式：假设根据以往经验或数据，某个试验成功的概率为p，除了成功就是失败，没有中间地带，所以失败的概率为1-p，设为q。现在进行这个试验，如果成功就立即停止试验，如果失败就继续试验，一直到成功为止。假设这个试验进行了r次，即在第r次取得了成功。可以用公式表示如下：

这个式子的比较好理解，意为在失败(q)了r-1次之后，终于在第r次迎来了成功(p)。r只取正整数，属于离散型随机变量，在上式中，随机变量r服从几何分布，记为r～ Geo(p）。例如，某生产线上的产品不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数r ～ Geo(0.05) 。

几何分布求期望：

公式：如果x～ Geo(p）,则

示例：如果引用打靶的例子，该选手对自己的要求比较高，认为打中10分或9分才为成功，低于9分则为失败，求该选手将在第几次获得成功。

这位选手有望在第7次的打靶中获得成功 。

几何分布同样适用于不等式的情况：

情况一：

公式：如果x～ Geo(p），P(x>r)时，P(x>r)=q^r

示例：在打靶例子中，如果该选手第一次取得成功时，需要试验r次以上的概率。即在前r次中，该选手的结果都为失败，只有在r次之后，才有可能成功。求该选手在第3次以上才能获得成功的概率。

P(x>r) = q^r =（0.05+0.1）³ = 0.003375

情况二：

公式：如果x～ Geo(p），P(x≤r)时，P(x≤r)=1-q^r

示例：在打靶例子中，求该选手在打靶3次之内能够获得成功的概率。即该选手在第1次，或第2次，或第3次就获得了成功的概率。

P(x>r) = 1- q^r =1-（0.05+0.1）³ =1- 0.003375 = 0.996625

几何分布求方差：

公式：如果x～ Geo(p）,则

示例：依旧沿用打靶的例子。求该选手成功打靶10分或者9分需要试打次数的方差。

几何分布就分享到这里了，主要掌握几何分布的含义及几个使用的场景就可以了，接下来是离散型概率分布的其他类型，敬请期待！

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