十分钟学习泊松分布

前言

本文简述了离散型分布，阐明了泊松分布的来源，推导出泊松分布的公式，列举了泊松分布常用的情况，总结了泊松分布相关数值。

离散型分布概述

离散型分布包括几何分布、超几何分布、二项分布和泊松分布。其中二项分布和泊松分布最重要。

伯努利试验

对于一个试验（事件），如果重复发生的概率是独立地（上一次的结果不影响这次），那么它是独立试验。特别地，如果这个试验只存在两种结果，则称其为伯努利试验。

随机变量

对于有现实世界意义的数，我们根据意义的不同，将其划分为不同的类，而对于同一类的数，都使用同一个随机变量来称呼。比如，x年x月x日下雨量，我们就可以使用“随机变量X”来称呼；x年x月x日下雨可能性，我们就用“随机变量Y”来称呼。

需要明确的是：

• 随机变量是一类有相同意义的数，而不是某个数

• 当使用随机变量作为一个数时，我们需要指定这个随机变量。比如“2017年1月25日下雨量”在数学上才是一个具体的值。

• 随机变量不一定能用除一一映射以外的方式拟合

几何分布

对于重复n次的伯努利试验，我们可以计算“首次为1是出现在第K次试验”：
如果一个随机变量X取值1, 2, …, k时对应的值满足上式，则称X服从参数为P的几何分布，记作

超几何分布

袋中有N个球，其中m个为红球，余下的是白球。从袋中一次取n个球，“恰有k个红球”的概率：

对于满足上式的随机变量X，称X服从超几何分布，记作

二项分布

对于重复n次的伯努利试验，我们可以计算“成功k次”的概率：
对于满足上式的随机变量X，称X满足二项分布，即为

01分布

特别地，当n=1，即只重复一次伯努利试验时，我们将其称为01分布。（随机变量X只有两个结果）

泊松分布的直观理解

泊松分布是用来描述某段时间内事件的发生概率。

我们先假设是从某一时刻起（X=x）的t个单位时间内。我们已知的是单位时间内事件发生的概率p。
那么在t个单位时间时事件发生k次的可能性（比如前来看病的人数为k），是满足二项分布的：

通过二项分布，我们可以计算单位时间的整数倍时刻，事件发生k次的可能性。
而为了得到第1.2t个单位时间内事件发生的次数，我们需要缩小单位时间，并同等缩小事件发生概率p，比如

故当t取无限小时，可以计算出泊松分布公式：
，为在时间段内事件发生次数的期望。

越大，时间段内事件的平均发生次数会增加。

泊松分布的公式推导

泊松分布公式：

泊松分布的用途

1. 泊松分布可以作为二项分布的近似

2. 许多随机变量服从泊松分布，如某医院一天内的就诊人数，一段时间内一个网站的登陆人数，某路口一段时间内通过的车辆数

泊松分布的相关数值

期望：
方差：
具体推导见参考文献“泊松分布的期望和方差推导”

变异系数：
极大似然估计值：
具体推导见参考文献“最大似然估计法”

泊松分布和正态分布的关系

泊松分布和正态分布（高斯分布）都是由二项分布推导出，但基本没什么关系…

参考文献

I. 《概率论与数理统计（第二版）》 陈鸿建著
II. 泊松分布和指数分布：10分钟教程
III. 泊松分布的来源—公式推导—应用
IV. 泊松分布（Poisson distribution）的简单认识
V. 泊松分布的期望和方差推导
VI. 最大似然估计法
VII. 二项分布, 泊松分布和正态分布之间的关系