世界最大数学难题——黎曼猜想被证伪

 

—— 梅晓春发现黎曼1859年的原始论文中存在四个基本错误

福州原创物理研究所

2019年8月20日，美国科学出版集团旗下的《数学快报》（Mathematics Letters）发表福州原创物理研究所所长梅晓春的文章《黎曼Zeta函数方程的不一致性问题》。梅晓春发现黎曼1859年的原始论文中存在四个基本错误，黎曼猜想被证伪。当今世界著名的数学难题，“黎曼猜想”问题被解决。

黎曼猜想是数论中的一个著名问题，由德国数学家黎曼在1859年提出。黎曼猜想被看成是近代数论的基石，它断言黎曼Zeta函数的所有零点都落在复平面a=1/2的点上。黎曼猜想的证明非常困难，一百六十年以来，世界上有数不清的数学家前赴后继，试图证明或证伪黎曼猜想，但都没有成功。

梅晓春的文章证明黎曼的原始论文中存在四个基本错误，因此黎曼猜想不可能成立，实际上是没有意义的。由此可以解释为什么黎曼猜想的证明是如此的困难，因为这个猜想的数学函数方程的本身就是错误的。

1900年在巴黎召开的世界数学大会上，被称为“数学界无冕之王”的德国数学家希尔伯特提出23个著名的数学难题，为二十世纪的数学研究定下基调，黎曼猜想问题位列其中。到了二十世纪末，这些问题的大部分都被解决，只剩下少数几个进入二十一世纪，黎曼猜想就是其中的一个。

为了推进二十一世纪的数学发展，美国克莱因数学研究所在2000年又提出七个数学难题，并为每个问题的解决悬赏一百万美元，称为千禧年数学问题。黎曼猜想是其中的一个，而且是希尔伯特遗留问题中唯一入选的一个。

黎曼猜想问题是如此的著名，可以用以下例子来说明。有人曾问希尔伯特：如果你死去千年后复活，最想知道的是什么。希尔伯特回答说：我想知道黎曼猜想被证明还是被证伪了。

美国数学家蒙哥马利则表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，大多数数学家想要的将会是黎曼猜想的证明。

有人做过统计，在当今数学文献中，已有超过一千条数学命题的证明，是以黎曼猜想和它推广形式的成立为前提的。因此黎曼猜想被称为会生金蛋的鸡，如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都升格为定理。反之，如果黎曼猜想被证伪，这些数学命题将全部作废，对数学界的震撼是可想而知的。

2018年9月，英国著名数学家，菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者迈克尔·阿蒂亚宣称自己证明了黎曼猜想，引发了数学界的轰动。然而在9月24日的海德堡论坛上，阿蒂亚的演讲让人失望。他将黎曼猜想与物理学精细结构常数相联系，引入Todd函数的证明方法，被认为是不成功的。

正是这件引人注目的事，让梅晓春对黎曼猜想产生兴趣，决定弄清这个问题。梅晓春长期以来从事理论物理学的研究，对广义相对论和黎曼几何有很深的造诣。他对黎曼的数学有自己独特的看法，认为黎曼的某些工作过于随意，因此黎曼猜想可能是有问题的。

经过两个月的研究，梅晓春发现黎曼1859年的原始论文存在四个基本错误，黎曼Zeta函数积分形式及其函数方程都是不可能成立的，因此黎曼猜想没有意义。最关键的两个问题是：

一、 黎曼Zeta函数方程存在不一致性。在复平面的实数轴上，方程的左边有限时，右边可能为无穷大，反之亦然。在实数轴上，黎曼Zeta函数方程只在坐标为a=1/2的点上成立。然而在这个点上该函数等于无穷大，而不是零。

二、 黎曼在推导Zeta函数的积分形式时，忽略了绕坐标原点的积分项。文章证明该项在a>1时收敛，在a<1时无穷大。黎曼猜想落在a=1/2<1的点上，是没有意义的。

文章分析了导致以上两个问题原因，它们是：

三、 黎曼在推导Zeta函数的积分形式时，采用了一个求和公式。这个公式的可使用条件是x>0，在x=0时是没有意义的。然而黎曼的计算过程中涉及到的积分下限是x=0，由此导致Zeta函数方程的不一致性。

四、黎曼在证明Zeta函数方程的对称性时，使用了雅可比函数的一个公式，该公式成立的条件是x>0。同样由于计算过程中涉及到积分的下限是x=0，因此这个公式也不能用。

然而，通过人工计算和采用计算机技术，至今已经找到黎曼Zeta函数大量的非平凡零点。据称已经达到十万亿个，它们都分布都在a=1/2大点上，这是怎么回事呢？

梅晓春的文章分析了这个问题，指出现有的计算采用的都是近似方法，复变函数的解析性被破坏，柯西-黎曼方程无法得到满足。虽然在复平面a=1/2的直线上找到的大量非平凡零点，但它们都不是Zeta函数真正的零点。

因此，梅晓春的这篇文章解决了黎曼猜想这个悬疑一个半世纪的数学难题。与大多数数学家的愿望相反，所有试图证明黎曼猜想的努力都徒劳的，黎曼猜想没有意义。这是黎曼猜想问题最终的解决方案，尘埃就此落定，黄钟变成陶釜，金鸡变成凡鸡。以黎曼猜想为基础证明的一千多条定理，都要被放进历史博物馆。

然而这篇文章的发表过程却碰到了巨大的困难，还引发出梅晓春与世界著名的《数论杂志》的合同纠纷。这场纠纷是如此的奇葩，如此的闻所未闻，有必要将它公布于众，让大家了解在当今世界，重大科学创新成果的发表有多困难，看看学术界出版界到底出了什么问题。

最早发现的是问题二，梅晓春将它写成一篇短文，向《中国科学-数学》投稿，第二天就被退稿。然后送到权威的欧洲数学学会的会刊和美国数学学会的会刊，但也是没有送审就被退回。欧洲数学学会会刊的编辑还附上一篇文章，告诫业余数学爱好者，研究黎曼猜想这类著名数学难题时，需要注意什么问题。显然，他们认为梅晓春不是来自专业数学研究机构，只是一个业余爱好者，不足以解决黎曼猜想问题。

在此之后，梅晓春又发现问题二，三和四，写出了完整的文章，并于2018年12月向美国波士顿国际出版社的《数学研究快报》(Mathematics Research Letters) 投稿。两个月后，收到该杂志主编美国哥伦比亚大学数学系教授Duong H. Phong的回信。显然，他们仔细读过这篇文章，但拒绝接受此文的发表，却没有提出任何学术上的异议，建议梅晓春将文章投到专业数论杂志：

“我们杂志收到了许多投稿，涉及数学的各个领域。我们不得不拒绝很大一部分，即使其中一些被拒绝的论文可能会引起极大的兴趣，也许一个专门研究数论的杂志更适合你的论文。”

于是，梅晓春就将论文投到新加坡世界科学出版公司的《国际数论杂志》（International Journal of Number theory）。一个月后，收到该出版社责任编辑Michael Filaseta的回信，仍然拒绝接受论文，但对论文的评论是积极的。 他建议梅晓春将文章投到世界顶尖杂志，由世界顶尖数论专家来评估：

“一般来说，我们不考虑那些声称以某种方式解决黎曼假设的论文。你的论文如果有效的话，将是这个悬而未决问题的一个解决方案。这样的论文应该只被顶尖的研究期刊考虑，让不止一位的世界领先专家来评估这篇论文。”

于是梅晓春将文章投到荷兰爱思唯尔出版公司旗下的《数论杂志》(Journal of Number Theory) ，由此引发了一场闻所未闻的学术出版合同纠纷。

爱思唯尔是全球最著名的科学、医学和科技信息出版机构，它的出版物包括著名的《柳叶刀》和《细胞》等顶尖学术期刊。弗拉明戈早年关于青霉素的著作，就是由该公司出版。其产品包括ScienceDirec、Trends和Current Opinion 系列期刊和在线引文数据库 Scopus等。2017 年，爱思唯尔的2500 种期刊发表了超过 43 万篇文章。

然而作为一个出版商，爱思唯尔也以高收费和限制学术信息传播，广受学术界的批评和诟病。2012年，英国剑桥大学数学家、菲尔兹奖获得者Timothy Gowers建立了一个签名网站，公开号召学术界抵制爱思唯尔，理由是：

1. 爱思唯尔对个人订阅的期刊索取极高的费用。即便是作者本人，查看发表在爱思唯尔期刊上的文章也要被收费，而论文的评审却是义务劳动。

2. 在这种高额的收费下，提供给购买者的唯一实际可行的选项是，同意购买其他的成套服务，其中有许多期刊是购买者不需要的。

3. 爱思唯尔支持 SOPA 、PIPA 、以及 The Research Works 条款，其目的在于限制对科技信息的免费获取。

Timothy Gowers建议全世界的学者：

1. 不在 Elsevier 上发表论文。

2. 不审阅其他研究人员投给这些期刊的稿件。

3. 不参加 Elsevier 的任何编辑工作。

2019年7月，加州大学宣布取消所有Elsevier期刊订阅，并向全球读者免费提供加州大学作者的所有论文 。加州大学共有 10 个分校，其出版文章的数量占美国全国的近 10%。为了让学生、教职工和研究者查看已出版的文章，加州大学与爱思唯尔签订的合同价值高达 5000万美元。与爱思唯尔长达 8 个月的谈判宣告破裂后，美国加州大学做出这项决定。

梅晓春投稿时，并不知道爱思唯尔出版机构存在的问题。在与《数论杂志》打交道的过程中，奇葩经历让他深刻领教了Elsevier期刊的敛钱手段和无信程度。

文章投到《数论杂志》后，梅晓春收到编辑Steven J Miller的来信。Steven说他们的杂志每年都要收到大量的，关于黎曼猜想、哥德巴赫猜想、费马大定理和孪生素数等著名数学难题的证明文章。他们每年都要耗费大量的精力审查这些文章，却发现没有一篇是对的。

为此，《数论杂志》提出一个新政策，要求这类文章的作者至少交2000美元作为审稿费，由他们找人审稿。《数论杂志》会与作者签合同，如果文章没有严重的错误，没有逻辑推导步骤的缺失，《数论杂志》就应当发表论文，同时将2000美元归还作者。

如果发现存在一个严重的错误，或者存在逻辑推导步骤的缺失，《数论杂志》就不发表论文，也不返回2000美元。如果作者不同意审稿意见，允许申辩，但不允许修改文章。文章是否发表的最终决定权在《数论杂志》编辑部，如果文章被拒作者不服，只能认命，不允许对《数论杂志》提出诉讼。

这个合同对作者是及其苛刻的，实际上是不公平的。但梅晓春相信他的论文不可能有严重的错误，相信在这种高额审稿费下，《数论杂志》能够认真审稿，遵守合同。只要文章没有严重的错误，相信他们接受会发表。然而事实证明梅晓春天真了。《数论杂志》敛财的手段和不守信的程度大大超出他的想象。

签订了合同并交了钱后，论文进入审查阶段。审稿人的第一个报告否认梅晓春提出的第一个问题，建议《数论杂志》拒绝接受文章。梅晓春读完报告后，发现审稿人对论文有误解，就写了第一个答复。审稿人对梅晓春的反驳没有异议，默认梅晓春提出的第一个问题是对的。他将疑问转向第二个问题，继续拒绝梅晓春的文章，并建议梅晓春去读Felix Rubin的一篇文章，题为“黎曼关于Zeta函数和L函数解析延拓的第一个证明”并说该文可以证明梅晓春提出的第二个问题是错误的。

梅晓春仔细读了Felix Rubin的文章，发现结果恰恰相反，该文的计算实际上证明梅晓春的结论是对的。只不过该文对于a<1的情况，Felix Rubin没有做进一步的计算罢了。只要计算下去，一定得到梅晓春的结论。同时，梅晓春还发现Felix Rubin的文章在计算极限是存在一个错误。

于是又经过两轮的较量，审稿人在第五个报告中承认梅晓春的计算是对的，不再坚持他的看法，不再建议《数论杂志》拒绝梅晓春的文章。对梅晓春的第五个回答，审稿人也不再提出异议，此后再也没有提供新的审查报告。

至此情况已经非常明朗，对于梅晓春提出的黎曼原始论文中存在的四个问题，审稿人无法否认其中的任何一个。审稿人在梅晓春的文章中找不到任何错误，更不用说是严重的错误了。按照合同，《数论杂志》应当发表梅晓春的论文，并退还梅晓春2000美元的审稿费。

然而，《数论杂志》仍然拒绝接受梅晓春的文章。编辑Steven J Miller给梅晓春写信仍然说：你的文章有瑕疵（your paper is flawed），因此被拒绝。

这种说法不可理喻的，梅晓春回信问，瑕疵在哪里，请明确指出。黎曼原始文章的四个问题，哪个不存在？对于最关键的两个问题，梅晓春的文章有非常严格的计算，请问哪个计算错了？按照合同，如果不是严重的错误，仅仅是瑕疵，修改后仍然应当发表，这是学术惯例。《数论杂志》无法找到严重的错误，就应当遵守合同，接受文章的发表。

然而对梅晓春的责问，编辑Steven却不肯直接回答，只是隐隐约约地暗示第三个问题不存在。梅晓春就告诉他，在任何数学手册中都查得到，x=0时该求和公式不能用，请他自行核对。于是Steven就不再提第三个问题，但坚持说梅晓春的论文有瑕疵。要梅晓春修改后重新提交，并再交2000美元的审稿费！

Steven的这种做法匪夷所思，完全不符合学术规范。按照一般的常规，如果编辑部要求作者修改文章后重新提交，就意味着论文在总体上是没有错的，是可能接受发表的。如果文章有原则性的错误，一般是不可修改的，就不会建议作者重新提交论文。

既然Steven要梅晓春将文章修改后重新提交，就意味着他认为梅晓春的文章是可以接受的。但他要求梅晓春再交2000美元的审稿费就完全没有道理了，因为这是同一篇文章，不可能要求作者交两次审稿费，尤其是如此高额的审稿费。

梅晓春于是断然拒绝，给Steven写信说：

1. 文章根本没有错误，不存在他说的瑕疵，不必要修改和重新提交。

2. 不能接受2000 美元的第二次审稿费。

3. 《数论杂志》应当按照合同，发表他的文章，并退还2000美元的审稿费。

此后，梅晓春和Steven就陷入拉锯战，来往信件内容反反复复，梅晓春坚持要Steven明确指出，文章的八十个公式哪个错了。应当怎么修改？Steven则总是含含糊糊，闪烁其词，就是不肯具体指出错在哪里。因为他根本无法指出哪个公式是错的，就只能胡搅蛮缠了。

直到最后，在梅晓春的一再坚持下，Steven无路可退，才说了大实话：

“我希望你的尝试成功，但我同意数学学界几乎一致的观点，即黎曼的论文是正确的。”（I wish you well on your attempts, but I agree with the almost near unanimity of the mathematics community that Riemann's paper is correct.）。

“人们研究这个函数和这个定义已经有一百多年的历史了，因此它不太可能没有得到正确的定义”。（People have been looking at this function and this definition for well over a hundred years, and thus it is quite unlikely that it is not defined correctly）。

也就是说，《数论杂志》认为黎曼不可能犯错，因此一定是梅晓春错了，尽管他们找不到错误。然而，这种说法有科学的依据吗？黎曼也是一个普通人，不是神，为什么就不会犯错呢？《数论杂志》为了维护黎曼的学术权威，试图掩盖重大科学错误，已经完全不顾最基本的科学和逻辑了。

既然Steven认为黎曼不可能有错，为什么不一开始就直接拒绝梅晓春的论文，却要收取高额审稿费，与梅晓春签订合同呢？为什么还要梅晓春重新提交论文，再交2000美元的审稿费呢？在找不到任何错误的情况下，《数论杂志》公然违背合同，拒绝发表文章，完全不讲道理，已经到了不顾颜面的地步。

于是梅晓春就给《数论杂志》主编Dorian Goldfeld写信，投诉Steven不守信用，请他进行纠正，但一直没有得到答复。事情到了这种地步，梅晓春认为与《数论杂志》的争论不会有任何结果，决定将这件事公布于众，让学术界来评理。

1. 黎曼的原始论文是否存在梅晓春说的四个基本错误。鉴于黎曼猜想对数学的重要性，学术界有必要搞清这个问题。事实上，黎曼猜想已经严重地影响了数论的发展，它将现代数论引到一个完全错误的方向。它试图通过复变函数的积分形式来研究素数分布，而不是按照数论本来的面目做研究，给数论这个学科带来灾难性的后果，应当予以纠正。

2.《数论杂志》的做法是否符合科学规范。《数论杂志》涉嫌欺骗研究者，通过多次收取高额审稿费的方法赢利，却不尊重作者的劳动。他们与作者签订了合同，却完全没有信用，从来没有想到要认真遵守合同，只是将它作为一个手段，引诱数学难题研究者上当。然后随便找个理由，把作者给打发了。不知这些年来有多少作者上了他们的当，最后是哑巴吃黄连，有苦说不出。

因此我们完全赞同Duong H. Phong教授的看法，建议数学难题的研究者们不要向《数论杂志》投稿，更不要向他们缴纳高额审稿费，因为这是一个陷阱，是一个骗局，不会有任何结果。

经此遭遇，梅晓春决定不再白费精力与《数论杂志》纠缠，就把文章投到美国科学出版集团的《数学快报》。之所以做这种选择，是因为梅晓春与美国科学出版集团有过交集，对这个出版社有很好的印象。大约7年前梅晓春收到该出版社旗下的一个物理学杂志编辑的电子邮件，说他们的杂志准备出一个物理学对称性方面的副刊，在互联网上搜索到三千多篇研究论文。结果发现梅晓春2007年在《中国科学.天文与物理》英文版上发表的一篇文章“高阶电磁推迟相互作用与时间反演对称性破坏”极具创新，水平最高，意义重大，因此想请梅晓春来做该副刊的主编。

由于某些原因，梅晓春婉拒了该杂志的邀请，但对美国科学出版集团的行事方式印象深刻。这个出版机构旗下有一百多种杂志，大多都是开源杂志，旨在为全体学者提供一个高效的，公开的和公正的交流平台，读者可以免费下载论文。不像Elsevier的杂志，即使作者本人阅读自己的文章，也要付费。《数学快报》对学术文章的要求很高，除了原创性外，还要求文章的唯一性，不接受已经以预印本方式已经在网上发表过的文章。世界上许多著名杂志都接受预印本，作者提交文章时只要提供预印本库的编号就可以了。

更可称赞的是，《数学快报》的评审过程双向的。在他们的审稿程序格式表中，除了有审稿人提供的审稿意见外，还有作者对审稿人审稿意见的评论栏，文章作者可以对审稿人的学术水平打分。这种做法在学术出版界可以说是独一无二的，它可以避免审稿人的不负责任的行为，有助于防止学术真知被庸人淘汰，非常值得提倡。

经过一个多月的审稿，《数学快报》的编辑来信，接受梅晓春论文的发表。审稿人的评论是：本文的内容在整体上是比较充分的，建议发表。