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例题：（初中数学综合题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于C、D两点，F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，且GF=GH． （1）求证：MG是⊙O的切线； （2）若弧AF=弧CF，求证：HC=AC； （3）在（2）的条件下，若tan∠G=3/4，AE=6，求GM的值．  知识回顾 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 分析：（1）证明切线必定要连半径，连接OF．利用角之间的等量代换得出直角，证明OF⊥GM即可． （2）由圆的对称性可知，OF为对称轴，由垂直可以证明AC∥GM，再推出∠CAH=∠CHA即可． （3）通过tan∠G=3/4，AE=6，解直角三角形求出EC，AC，再设GF=GH=x，推出CG=CH+GH=AC+GH=10+x，利用切割线定理构建方程求出x，在Rt△EGM中，求出EG和EM，即可解决问题．这一问的难度比较大，大多数学生可能做不出来. 请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！ 解答：（以下过程可以部分调整，并且还有其他解题方法） （1）证明：连接OF． ∴AB⊥CD， ∴∠AEH=90°， ∴∠EAH+∠AHE=90°， ∵GF=GH， ∴∠GFH=∠GHF=∠AHE， ∵OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA， ∴∠OFG=∠OFA+∠GFH=90°， ∴OF⊥GM， ∴MG是⊙O的切线．  （2）证明：∵弧AF=弧CF， （由圆的对称性可知，OF为对称轴） ∴OF垂直平分线段AC，即OF⊥AC， ∵OF⊥MG， ∴AC∥GM， ∴∠CAH=∠GFH， ∵∠CHA=∠GHF，∠HFG=∠GHF， ∴∠CAH=∠CHA， ∴CA=CH． （3）解：∵AC∥GM， ∴∠G=∠ACE， ∴tan∠ACE=AE/EC=tan∠G=3/4， ∵AE=6， ∴EC=8，AC=10， 设GF=GH=x， 则CG=CH+GH=AC+GH=10+x， ∵CD⊥AB于点E， ∴CD=2EC=16， ∴GD=10+x-16=x-6， ∵GF^2=GD·GC， （运用切割线定理或者利用相似证明） ∴x^2=（x-6）（x+10）， 解得x=15， ∴EG=CG-CE=25-8=17， ∵tan∠G=EM/EG=3/4， ∴EM=51/4， ∵在Rt△EGM中，EG=17，EM=51/4， （计算格式不好写出，此处省略掉） ∴GM=85/4. （完毕） 这道题属于圆的综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，切割线定理等知识，解题的关键是利用参数构建方程解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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