揭开“无限”的神秘面纱（上）

阿基里斯追乌龟

公元前400多年，古希腊学者芝诺就提出了涉及无限的问题，这就是著名的“阿基里斯追不上乌龟”的怪论。

大家都知道，乌龟动作迟缓，而阿基里斯则是希腊神话中的“神行太保”，因此决定起跑时让乌龟领先10米。发令之后，阿基里斯迈开他的长腿，如离弦之箭向前冲去。而乌龟心里不论多急，也只能慢吞吞地向前爬行。大家肯定会认为阿基里斯只消一眨眼的功夫就能追上乌龟。

可是芝诺却断言：阿基里斯永远追不上乌龟！芝诺也有他的理由。

图1 芝诺

假设阿基里斯和乌龟的速度都始终保持不变，而阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

那么，当阿基里斯跑到第10米，即乌龟起跑的地方时，乌龟已经爬到第11米的地方去了，乌龟领先1米。

于是阿基里斯又奋力向前，当他跑到第11米的时候，乌龟却已爬到第11.1米的地方去了，它还领先0.1米。追到第11.1米时，乌龟却在第11.11米处了，还要领先0.01米。

如此不停地跑下去，阿基里斯要追上乌龟就得依次跑完10 米、1米、0.1米、0.01米・・・・・・的距离，而乌龟则依次领先11 米、0.1米、0.01米、0.001米・・・・・

显然，这些距离有无限多个，跑完一个又有一个，跑完一个又有一个，永远也跑不完。因此，乌龟始终领先一个微小的距离，阿基里斯永远也追不上乌龟。

现在，请大家想一想芝诺的论证究竟对不对？如果你们发现不了芝诺的错误，那很可能就是受了“无限”的迷惑！不错，那些距离是有无限多个，可是它们之和却是一个有限的确定的距离。

这么短的距离，阿基里斯当然是一闪而过就追上乌龟了。

“无限”常常和我们开玩笑

上面我们对无限多个数的和施用了加、减、乘、除这些运算。但是，你得当心，在施用这些运算时，“无限”常常和我们开玩笑。

例如，求 x = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - … 就有几种算法。

多么荒诞可笑！

毛病出在哪里？就在于对“无限和”施行普通运算并不总是可行的，只有对那些有极限存在的无限和才能施行这些运算。这个秘密直到十八世纪才由柯西等数学家发现。由于

“无限”具有这些古怪的脾气，所以从古希腊直到十九世纪下半叶，包括像亚里士多德和高斯这样的大数学家，对“无限”这个东西常常是退避三舍，绕道而行。

康托尔的不朽功绩

虽然人们早就遇到过“无限”，但是真正接触到“无限”本质的，却是两千年后十七世纪的意大利科学家伽利略。他把全体自然数和它们的平方象下面那样一个一个对应（简称一一对应）起来，

它们谁也不多一个，谁也不少一个，‘就是说应该‘一样多。可是，自然数的平方明明只是全体自然数的一部分，怎么会和自然数一样多呢？难道部分可以等于全体吗！伽利略百思不得其解。后来人们就称这个问题为“伽利略悖论”。

真正从本质上认识“无限”是在更晚的十九世纪末。在伽利略死后一百多年的1843年，一位伟大的数学家诞生了。他创造了作为现代数学基石的崭新的数学分支——集合论。他首次从本质上解决了关于“无限”的问题，使人类对“无限”的认识产生了一个巨大飞跃，对数学的发展、甚至对人类思维的进步立下了不朽功绩。他，就是德国数学家乔冶・康托尔（1845-1918）。

康托尔认为，“伽利略悖论并不是什么“悖论”，完全是正确的。任何两组东西，只要能相互一一对应，就是一样多。 “部分小于全体”这条规律只在有限情况下正确。在无限情况下，部分可以等于全体！

图2 康托尔

这正是无限的本质。如果一个量等于它的某一部分，那么它必定是无限量；反之，无限必定会等于它的某个部分。因此，无限量的定义是：可以与自身的某一部分相等的量就是无限量。

康托尔创立了集合论。集合论主要研究无限多个元素的集合的特性，即研究无限的特性。他得出了许多惊人的、意义深远的结论，解决了许多长期悬而未决的问题。他认为无限并非都是一个模样，彼此之间没有差别。无限之间也有大小的差别！他引进了超限基数来表示各种无限。

这与普通自然数、有理数、无理数、复数等等的运算多么不同啊！

我们来举些具体例子。

在数轴上自然数排得何等稀疏，而有理数却挤得那样密集，吃惊！

无限引出的惊人结论多得很，真是不胜枚举。

现在，我们看看康托是怎样证明自然数同有理数一样多的。康托使用伽利略用过的一一对应方法，先把全体有理数排成如下形式的表：

显然，全体有理数都排列起来了，而且还有许多重复的（如1/1=2/2=3/3=・・・）。现在从0开始按箭头所指路线依次把0对应于l，1/1对应于2，2/1对应于3，-1/1对应于4，如此对应下去。这样，表中每一个数必将在某一次，而且只有一次对应于唯一的一个自然数，即表中的数刚好与全体自然数作成一一对应。也就是说，它们与自然数一样多。去掉表中重复的数就得到全体有理数，所以全体有理数不会比全体自然数多；另一方面，自然数显然不会比有理数多，因此全体自然数同全体有理数一样多。

一一对应已成为现代数学中最基本、最重要的概念之一。 就象很多重要的科学原理来自于日常生活中最普通的现象一样，一一对应方法实际上就是日常生活中“点数”的推广。我们清点一只篮子里鸡蛋的个数，就是把鸡蛋同自然数一一相对应起来。

仅以上例子就足以显示出康托的理论是何等惊人，与传统观念是何等格格不入。难怪从一开始，康托尔就遭到那些坚持传统观念的数学家的激烈反对。说他的理论是“雾中之雾”，甚至还有人骂他是疯子。康托的老师，当时德国数学权威克罗内克的攻击最为激烈，他说： “康托尔走进了超限数的地狱。”甚至宣布，不承认康托尔是他的学生。

图3 康托尔与克罗内克

在这样的情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位。他郁郁不得志，一度精神崩溃，后来终于在一家精神病院去世。

康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上一座里程碑。它标志着人类经过几千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限大冒险迈进。”德国数学大师希尔伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一”。

事情并没有完结。同任何新生事物一样，康托尔崭新的理论还有缺陷，无限“妖怪”还没有被最后降服，这就导致了集合论的公理化。