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例题：（初中数学综合题）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC．过点O作OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若∠BAC=30°，AB=4，求线段CF的长．  知识回顾 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 平行线的性质：两直线平行,同位角相等。两直线平行,内错角相等。两直线平行,同旁内角互补。 分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法） （1）证明：连接OC，（图略） （证明切线连半径是常用辅助线） ∵OE∥BC， ∴∠OEA=∠ACB，（根据平行线的性质得到） ∵AB是⊙O的直径， ∴∠OEA=∠ACB=90°，（由圆周角定理得到） ∴OD⊥AC， ∴AE=EC，（由垂径定理得到） ∴DA=DC，（根据线段垂直平分线的性质） ∵DO=DO，OC=OA， （全等三角形的判定SSS） ∴△ADO≌△CDO（SSS）， ∴∠DAO=∠OCD， ∵DA为⊙O的切线，OA是半径， ∴∠DAO=90°，（切线的性质） ∴∠OCD=∠DAO=90°，即OC⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线.（切线的判定） （2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴∠ABC=60°， 又∵OB=OC， ∴△BOC是等边三角形，（等边三角形的判定） ∴∠BOC=60°，（等边三角形的性质） ∵AB=4， ∴OC=2， 在Rt△COF中， tan∠BOC=CF/OC（三角函数的定义） ＝CF/2＝√3， ∴CF=2√3． （完毕） 这道题是关于圆的综合题，考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质等，灵活运用切线的判定和性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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