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大家对瓷砖应该很熟悉，瓷砖多是三角形、四边形和六边形，很少有其他形状的。那么，能够铺满任意平面的瓷砖是不是只有这些形状呢？ 伊朗伊玛目清真寺中的几何密铺。（图片来源：Hosein Aghaei） 这个问题自古希腊时代就吸引着数学家们。在数学中也有专门研究能够铺满整个平面而不留空隙的地砖图形的分支——密铺（tessellation）。被尊为伟大的数学家的戴维·希尔伯特 (David Hilbert)曾在1900年将密铺问题列为他的23个问题之一。 当然，除了贴瓷砖，密铺在日常生活中也有很重要的应用。比如，显卡大都是利用三角形的密铺性质实现渲染的。渲染的速度和效果严重影响了用户体验，爱打电脑游戏的人应该有一手的感悟。 在制造业，为了减少原材料的浪费（如切割车门所用的金属），在制作模型时也要尽可能使用密铺图形。 许多人不知道的是，一位只有高中学历的家庭妇女，却在天命之年为这个数学分支做出了重要的贡献，美国数学学会（MAA）甚至用她发现的密铺图形铺地砖。一起来看看这位传奇的女士的故事吧。 玛乔丽·赖斯（图片来源：Sharon Whittaker） 1923年，玛乔丽·赖斯（Marjorie Rice）出生在美国佛罗里达州的一个普通农户家庭里。在上中学时，她跳了两级。后来在高中时期，她选了文秘方向，只修了一门数学课，因为在当时，女孩子只能选一门数学课。 而由于时代对女性的限制以及家庭的贫困，她没有上大学。高中毕业后不久，她嫁人生子，成了一名家庭主妇。 时间推进到1975年。那时，已经52岁的赖斯的5个孩子中的大部分已经成年，赖斯有了更多闲暇的时间。而因为小儿子爱好科学，赖斯就为他订阅了《科学美国人》。爱好自然科学的她也经常第一时间拿来翻阅，并成了《科学美国人》的著名数学科普作者马丁·加德纳（Martin Gardner）的数学专栏的迷妹。 图片来源：Martin-Gardner.org 没想到，那一年的两期《科学美国人》成了赖斯与密铺研究的开端。 1975年7月，加德纳发表了一篇文章（On tessellating the plane with convex polygon tiles），介绍了密铺方面的最新进展。 在了解这些进展之前，我们先来了解一下数学家们在研究密铺的什么性质。 首先，小学生可以很容易理解，任何三角形都可以沿着一边旋转180度，双双配对，然后把整一个平面铺满。再拓展一下，任意四边形，不管是凸的还是凹的，也可以用同样的方式铺满一个平面。 图片来源：wikipedia 但是，这个结论不能扩展到五边形。比如，正五边形就不行。 正五边形无法密铺。（图片来源：geogebra） 那么，是不是任何五边形都不行呢？ 1918年，德国数学家卡尔·赖因哈特（Karl Reinhardt）在他的博士毕业论文中证明，有5类五边形可以铺满整个平面。这5类五边形长这样—— 赖因哈特发现的5类可以密铺的凸五边形。（图片来源：Deke McClelland） 赖因哈特发现，只要五边形的边和内角满足一定的条件，就可以铺满一个平面。第1类能密铺的凸五边形很容易理解：只要有任何两条边平行，那么这个五边形就可以密铺。 赖因哈特还指出，凸七边形以及边数超过7的凹多边形无论如何都无法对平面实现密铺。 可是，赖因哈特并不知道自己找到的5类五边形是否完备，也就是说，是否所有能密铺的凸五边形就只有这5类。这个问题也就这样被搁置了50年。 1968年，约翰·霍普金斯大学的数学家理查德·克什纳（Richard Kershner）发现了新的3类凸五边形。这3类五边形要实现密铺，必须要成双成对。 克什纳发现的3类凸五边形密铺。图片来源：（DOI）10.1080/00029890.1968.11971075 克什纳认为，能密铺的五边形就这么8类，不能更多了，并在论文中加了一句话：“证明过程太复杂，以后再单独证明”。听起来是不是有费马“对上述命题，我已发现了一种绝妙的证明，可惜书边太窄了写不下。”那味了？ 克什纳虽然没有给出完整的证明，但是他的观点却借由 加德纳的专栏被世人所知。 这篇文章刊出后不久，业余数学家理查德·詹姆斯三世（Richard James III）写了一封信给加德纳，告诉他有第9类可以密铺的五边形。 他是从阿基米德地砖（Archimedean tiling）中找到了灵感。实际上，阿基米德地砖中的八边形可以等分为4个五边形。八边形稍微排列一下，就可以在空隙中塞入这种五边形。显然，这种八五边形可以实现密铺。 阿基米德地砖四等分后，可以形成第1类凸五边形。（图片来源：Doris Schattschneider） 要注意的是，这种五边形有两条平行边，因此属于第1类凸五边形，不算新的。但是詹姆斯巧妙地对八边形的四分切割进行了调整，让切割的“十”字微微倾斜，使切出来的五边形的任意两条边不再平行。这么一来，就出现了第9类凸五边形。 詹姆斯三世发现的第9类密铺。（图片来源：Deke McClelland） 这种新的五边形需要3个一组才能实现密铺，用数学家的行话来说，这种五边形属于 3-block tiling（3块密铺）。 于是在1975年12月的《科学美国人》上，加德纳把这位读者的发现刊登了出来。后来在20世纪90年代，俄亥俄州立大学数学系的教授亨利·格洛弗（Henry Glover）和菲利普·胡内克（Philip Huneke）用这第9类凸五边形装饰了数学系6楼的地板。 赖斯也看到了这篇文章，但直觉告诉她有什么不对劲，于是自己开始研究有没有什么新类型的五边形密铺。做完家务，她就在厨房的餐桌上做自己的数学研究。家人回来或是有客人来，她就把自己的研究笔记藏起来。所以在很长一段时间里，没有人知道她在寻找密铺五边形的事。这一秘密的研究就这样持续了二十来年。 因为只有高中学历而且没有几何学基础，赖斯只能自创数学符号来表示多边形的性质。这是她的笔记—— 赖斯用自创的符号对加德纳介绍的9种凸五边形进行分类。图片来源：（DOI）10.1080/17513472.2018.1453740 很快，她就有了收获。1976年2月，她写信给加德纳，将自己发现的密铺凸五边形寄了过去。
赖斯发现的第9类凸五边形及定义（右上角）。因为赖斯的证明在前，因此是第9类，詹姆斯的是第10类。图片上面的变形体是她用图像证明这第9类五边形的可能变化形态。（图片来源：site of marjorie rice） 加德纳把赖斯的信转交给了另一位数学家多丽丝·沙特施奈德（Doris Schattschneider），后者对这位数学爱好者产生了强烈的兴趣。 沙特施奈德证明赖斯的发现是新类型的凸五边形，她还从中得到了一个猜想：如果一个五边形的四条边长度相等，且四个角之间满足一定的条件，就能实现密铺。 令沙特施奈德意外的是，赖斯很快驳斥了这个猜想。赖斯指出，满足这个猜想中一共包括4类五边形，其中2类是无法实现密铺的。沙特施奈德后来不得不承认，赖斯是对的。 就这样，在赖斯的钻研下，能够密铺的凸五边形增加到了10类。 1976年12月，赖斯又发现了两类新的密铺五边形，后来这两类五边形被称为第11类和第12类。而在1977年12月，赖斯发现了第13类密铺五边形。在沙特施奈德的协助下，这些结果发表在了期刊 Mathematics Magazine 上。
赖斯用自己发现的两类凸五边形密铺制作的插画。（图片来源：Kathy Rice） 20世纪90年代，赖斯在研究了3块式的密铺后，发现了一种五边形密铺，她把这种五边形命名为 versatile。
美国数学学会（MAA）华盛顿总部大厅的地板的图样是 赖斯发现的五边形 versatile。（图片来源：I. Peterson, mathtourist.blogspot.com） 1999年，美国数学学会就用赖斯发现的这种密铺装饰了华盛顿总部大厅的地板，并于次年授予了赖斯一份荣誉证书。 在赖斯的一系列发现后，密铺领域沉寂了一段时间。1985年，罗尔夫·斯坦（Rolf Stein）找到了第14种能密铺的凸五边形。2015年，第15类密铺凸五边形被发现：华盛顿大学的数学家凯西·曼（Casey Mann）和同事用计算机暴力搜索的方式找到了第15种。 2017年，数学界出现了一种声音，那就是能密铺的凸五边形就只有那15类，没有更多了。如果真是这样，那么赖斯一人就贡献了其中的4/15。
目前发现的15类能实现密铺的凸五边形及其性质。（图片来源：wikipedia） 赖斯于2017年去世。晚年时的认知衰退使她没有办法得知密铺凸五边形方面的新进展。 尽管做出了这么多贡献，但赖斯从没有就自己的发现进行演讲，反而对于没有在数学方面进行深造感到很后悔。私底下她是一个非常害羞腼腆的人，她甚至都没有主动告诉孩子们自己在数学上的成就，这也是许多人不知道她的一个原因。
她唯一一次参加学术会议，是在1995年洛杉矶的一次数学大会上。在沙特施奈德的强烈要求下，赖斯答应和丈夫出席会议。在会场上，沙特施奈德向在座的数学家们介绍了赖斯。赖斯起身致意，所有与会者起立鼓掌，大厅里掌声久久不息。 |
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