为什么我们的宏观世界是三维的

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经验表明，我们所生活的这个宏观世界是一维时间+三维空间所组成的四维时空的有机整体，这一点是狭义相对论的基本观点，也已经被无数的实验所验证（例如，LHC上每时每刻都在以无数微观粒子“尸骨”来向世人宣示着狭义相对论无以伦比的准确性）。

这里，我主要想简单地从经典力学的角度（因为我们现在只讨论宏观问题，用经典力学就够了）证明一下组成我们宏观世界的空间维数只能是3，而不能是 4,5,6,… 等更高维度。

经典力学的一般性分析

我们考虑两体组成的有心力系统（例如，地球+太阳，或者月球+地球）。

我们知道两体运动可以等效为质心平动和两体的相对运动，而质心的平动是平凡的，可以不看。

需要注意的是，两体的有心力系统，其运动轨迹一定约束在一个二维平面上，这一点和空间的维数没有关系，所以我们采用极坐标  最为方便，其中  为两体之间的相对距离。两体相对运动的拉氏量为

其中  是两体的约化质量， 是两体之间的引力势。因为拉式量不显含有  ，所以对应循环坐标  的正则动量  一定守恒

当然我们知道这其实就对应角动量守恒。所以拉氏量可以改写为只依赖  和  的形式

因为拉氏量不显含时间，所以这个体系的的总能量（哈密顿量）守恒，

其中有效势能  。

我们假设  处是平衡位置，也就是

然后我们把  在平衡位置附近展开，保留到二阶小量，

其中一阶导数由于平衡位置的定义而为零。所以总能量为

两边对时间微分我们得到

再做一个坐标平移  ，得到

其中 。

这是一个我们很熟悉的简谐振子的运动方程，当且仅当  也就是 时，这个体系在微扰下是稳定的。

插曲： 维空间的万有引力

接下来我们来推导 维空间下球对称引力势的具体表达式。从引力势  满足的泊松方程出发

引力场强 ，所以 ，两边积分

其中  和  分别为  维空间的体元和面元。再利用散度定理

我们得到

因为

所以

其中  为  维空间的立体角。从而

这里利用了球对称引力场的场强和角度无关的结论。所以  维空间的球对称引力场强

下面来求  维空间立体角  的表达式，利用

其中  是我们熟悉的Gamma函数。所以 ，当  时，就回到我们熟悉的三维空间的立体角 。所以最后我们得到  维空间的球对称引力场强

其中  是一个只和空间维数有关的函数，且总是正的。

例如，对三维空间， ，  ，这正是我们熟悉的万有引力定律的平方反比表达式；对于四维空间，  ，所以  ，等等。所以  维空间下球对称引力势的表达式为（取无穷远为势能零点）

两体系统的引力势能为

其中  是一个只和维数有关的函数，只要  时， 就是正的，引力势就是吸引势。

稳定性：几维空间才合适？

让我们继续回到上面的两体有心力系统中来。

有了任意维空间球对称势能的表达式，我们就可以计算稳定性条件  对于空间维数的限制了，

将其带入稳定性条件  中，同时利用条件  ，最后得到

因为引力势总是吸引势，所以  ，所以由上式可得  。另一方面，低维的空间（  ）从生物学角度已经被禁戒掉了，从而只能有

所以，我们宏观世界的空间只能是三维的，如果空间维数大于三维，体系将在微扰下不稳定——比如你轻轻地吹一口气，整个太阳系就会灰飞烟灭。

一个更简单的方法

以上的推导略显繁琐，下面用一个更简单的方法进行论证。

经典力学中有一条定理被称为位力定理（Virial theorem），它告诉我们对于一个具有  个自由度的体系，其平均动能和平均势能之间具有如下关系

其中  和  分别表示动能和势能，尖括号代表取平均值。通常地，势能总是坐标的  次齐次函数，即

其中  为任意常数。对于齐次函数  ，我们可以使用高等数学中的欧拉齐次函数定理，

从势能的表达式  我们得到 ，所以 ，代入位力定理中，我们得到

如果 ，  ，总能量的平均值 。

因为动能的平均值总是正的，所以总能量的平均值总是负的，这时系统是稳定的。

倘若空间不是3维，会发生什么？

• 如果 ，那么 ，即总能量的平均值是零或正数，此时体系都是不稳定的。
• 如果 ，则动能的平均值是零，这是一个死气沉沉的世界。
• 如果 ，动能和势能的平均值将同号，但是一个物理系统的动能平均值总是正的，所以总能量的平均值也是正数，这样的系统是不稳定的。

所以，利用位力定理，我们可以更加简单地证明，宏观世界的空间维数只能是3。

额外维？

最后，我想再简单提一下高维理论。在各种额外维（Extra dimensions）的物理模型中，我们的空间维数是可以大于三维的。

但是这并不和我们上面的结论矛盾，因为上面始终论证的都是宏观世界。

而所有的额外维模型，其超过三维的空间维度都是蜷曲在极小的空间尺度中的（当然也就意味着必须要超高的能标才有可能探测到其带来的效应）。

当涉及到宏观系统和宏观距离的时候（此时的能标都是极低的），那些额外的维度并不会对万有引力和库仑力的平方反比表达式有明显的修正（这一点要感谢同办公室的美女博后Kimiko帮忙指出），因而并不会对我们的宏观世界的稳定性造成任何影响。

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附注

1. 微扰下稳定的意思是说，如果我们对正在太阳的椭圆轨道上运行的地球做一个径向的小扰动，那么地球将在平衡位置附近来回振荡着做简谐振动；反之如果体系在微扰下不稳定，那么你对着地球沿径向方向吹一口气，地球就直接飞到十万八千里以外去了。一个很好的类比是，想象一个静止在山顶的球（此时势能处于极大值，势能的二阶导数小于零）和一个静止在谷底的球（此时势能处于极小值，势能的二阶导数大于零），两个球都处在平衡位置（因为此时合力为零，球静止），但是轻轻碰一下后，山顶的球会直接滚下来，而谷底的球只会在谷底附近来回振荡，因此前者是在微扰下不稳定的，后者是在微扰下稳定的。
2. 接下来这一段是比较严格的推导，如果你不想看，也可以直接通过能量守恒定性地得到结论。在三维空间，面积正比于距离的平方，所以为了保证能量守恒，引力场强必须按照反比于距离平方的规律衰减；而在  维空间，面积是正比于距离的  次方，所以为了保证能量守恒，引力场强必须按反比于距离的  次方的规律衰减。
3. Gamma函数的定义为  ，从定义出发，可以推出Gamma函数的几个有用的性质，例如 ，， 等。
4. 关于Virial theorem的证明，可以参看一般的经典力学的教科书，例如Goldstein的Classical Mechanics。
5. 关于这一点，可以考察一个氢原子体系。我们知道氢原子中，电子被原子核束缚在核内运动，其总能量是负的，这意味着我们需要从外界输入一定的能量给电子才能将其电离出原子。如果电子的总能量是零，这意味着我们只要轻轻地碰一下电子，它就可以挣脱原子核的束缚；如果电子的总能量为正，它直接就跑到无穷远去了，根本不可能被原子核束缚。不管是以上哪种情况，都没办法形成稳定存在的原子。