【原】压轴题打卡44：圆有关的综合题型，属于阅读理解题

问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=√2CD，从而得出结论：AC+BC=√2CD．

简单应用：

（1）在图①中，若AC=√2，BC=2√2，则CD=   ．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，弧AD=弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的长．

拓展规律：

（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC/3，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是          ．

参考答案：

考点分析：

圆的综合题．

题干分析：

（1）由题意可知：AC+BC=√2CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；

（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D₁，由（2）问题可知：AC+BC=√2CD₁；又因为CD₁=D₁D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；

（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．

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