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摘 要：《汉书·律历志》将一至万的发展分为“由数起”和“大备”两阶段。结合各方面证据可确定“由数起”阶段只产生了个位、十位数字。河图是《易·系辞》中的“天地之数”，内涵是一至十的顺序排列，作用是作为标准向公众推广一至十这些数的概念及数数的计算方法。“大备”阶段，“百”字的出现形成了位值制的雏形，洛书是《易·系辞》中的“大衍之数”,它伴随着“千”字出现，内涵为加法的进位规则集，洛书的出现也标志着加法的形成。 中图分类号：B22 文献标志码：A 文章编号： 被视为中华民族文明之源的河图、洛书，人们只能大致确定其内容为数，而不知道其确切内涵。另在文字起源的假说中虽然包含河图、洛书说，但人们却无法确定河图、洛书的具体作用，这导致许多人视河图、洛书为神话和传说，甚至怀疑它们的真实性。《河图、洛书的传承途径考》提出了数字八卦概念及三种记事方式并存的理论，从传承途径上展示出河图、洛书真实可信的一面，并确定应在数学和文字学上考证河图、洛书的内涵[1]。鉴于问题复杂，笔者先以本文从数理哲学角度剖析河图、洛书最为基础与核心的内涵，消除人们对河图、洛书真实性的怀疑；之后再另行撰文结合乾坤、象数、书契等概念，剖析河图、洛书在文字起源过程中的具体作用。为此应回顾一下前人在数学上解读河图、洛书内涵的历史，以缩小研究范围并找到科学合理的研究方法。 一、前人在数学上解读河图、洛书内涵的历史 南宋朱熹（公元1130—1200年）、蔡元定（公元1135—1198年）认为，河图是传世本《易·系辞》中的“天地之数”，即“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十”[2]683-689，是数的起源，这一解读有道理但需进一步考证。南宋杨辉（生卒不详）解读河图为纵横图，洛书为三阶幻方[3]。他对河图的解读除数字游戏的功用外，无实质性用途，基本没人认可；但对洛书的解读，由于所用数字组合是一种客观存在，在众多解读中获得了最多认可。笔者认为杨辉的结论不能成立，因为我国古文献中没有记载幻方的应用，幻方在宋代之前不具实用性，包含幻方的矩阵属于近现代工程数学中的应用，所以从实用性的角度看，幻方不具备文明之源的特征。李约瑟（公元1900—1995年）也提出过质疑，他说“在13世纪以前，幻方的发展明显地与数学思想的主流相分离”[4]23。 清李光地（公元1642—1718年）有“河图加减之原”“洛书乘除之原”[2]786-787的结论。只是李光地给出的数字组合相当牵强，使得他的结论无人认可。并且在不能整除时需要有分数才能完成除法运算，所以分数必然先于除法出现，《左传·隐公元年》中的“大都不过三（分）国（都）之一”被认为是文献中最早的分数，出土文物商鞅量中有类似文字，这种类似分数的文字未脱离对具体事物如“国（都）”进行分割的情形、是否抽象至数的层面尚不确定。稍晚的清华简《算表》中出现了用单个汉字表示的分数，用两数组合表示、分子大于等于二且不与具体事物交织的分数在秦简中才出现，说明分数成熟、除法出现的时间应较晚，而乘除法互逆、二者应是相伴产生的，这样就将“洛书乘除之原”排除了，详情笔者将另行撰文剖析。 二、考证河图、洛书数学内涵的方法与范围 但李光地的解读中，加减乘除的基础性、实用性与文明之源的特征相符，且它们的产生年代久远以至于难以查证，也可能与河图、洛书的出现时间相符。所以李光地的解读具备一定的科学性，我们应该坚持他这种注重基础性、实用性的研究方法，并结合近年考古学、文献学的研究成果，更加科学合理地解读河图、洛书的内涵。 最基础的数学是正整数概念，我国一直延用的正整数属十进位制正整数，可立足于数字变化追溯其发展历程。吴文俊（公元1919—2017年）认为“十进位位值制记数法是中华民族的创造，是世界上绝无仅有的独特创造”，“这一记数法最迟在《九章算术》成书时（公元1世纪）就已十分成熟；而在外国，印度也是最早在6世纪末才出现”[5]。十进位位值制记数法简称十进位制，包括十进制和位值制两种规则，十进制规则即满十进一规则；位值制规则是指同一个数在不同位置上表示的数值不同，如1314中，前边的1表示一个103,即一千，后边的1表示一个101，即一十。“甲骨文中首次出现'百’、'千’、'万’三个数名，形成了较为系统的十进制”[6]144，李约瑟依据甲骨文中的这些数字也倾向于十进位制产生于中国[4] 23，对这些数字的产生过程，《汉书》中有更为具体地记载。 《汉书·律历志》载有“自伏羲画八卦，由数起，至黄帝、尧、舜而大备”、“数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也”[7]《律历志》，将一至万的发展分为“由数起”和“大备”两阶段。至于两阶段各产生了什么数字，因为数必然是由小到大、逐步积累着发展，结合数字八卦是一至十的子集，河图也只包含一至十，且个、十位数字出现于史前考古材料中，百、千、万首现于甲骨文中，表明“由数起”阶段应当只产生了个、十位数字。与“大备”相对应，传世本《易·系辞》有“大衍之数五十，其用四十有九”，以往的解读虽能凑出五十，却都体现不出“大衍”功能，因“天地之数”、“大衍之数”与“河出图，洛出书”前后呼应，既然朱熹、蔡元定推测河图为“天地之数”，顺此可推测洛书为“大衍之数”，再寻求证据支持这种推测。 静态的数字仅表示记数结果，它们必然对应着一定的动态计算方法，动静结合才能全面深入剖析数的发展历程。“正如加法是代替较为繁重的数数求答案的办法一样，乘法是加法的简化，它把许多加数'叠在一起’”[4] 25,数数和加法是较乘法更为基础的计算方法，数数亦称计数，即数事物个数的过程，逐个地计算事物个数称为逐一计数，按几个一群计数称为分群计数。因上文已排除乘除法，故与河图、洛书对应的计算方法应仅限于数数和加减法。 三、“由数起”阶段，数的发展历程及河图的内涵 下面详细考证“由数起”阶段个、十位数字的发展历程，在此过程中使用的计算方法及河图所起的作用，进而得出河图的内涵。 （一）数字在文字起源过程中的先导作用 数字先于其它文字产生。宋朝已有“书始于契，契以纪数，故首数”[8]的结论；于省吾（公元1896—1984年）也有“虽然几个积画字（注：指一、二、三、四）极其简单，但又极其重要，因为它是我国文字之创始，后来才逐渐发达到文字纪事以代表语言”[9]97。其实东汉文献已经清楚地记载了这一点，《河图、洛书的传承途径考》所引《汉书·律历志》的“自伏羲画八卦，由数起”；《说文解字》的“惟初太始，道立于一，造分天地,化成万物”、“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，视鸟兽之文与地之宜，近取诸身、远取诸物，于是始作易八卦”，证明东汉时人们知道八卦曾是用数字记录的占筮结果、为文字的起源。“在半坡出土的陶器上有许多刻划符号，其中被辩认出来的数字符号有五、六、七、八、十和二十等六个”[6]130，表明考古发现的最早文字是数字、也支持这一结论。人们之所以迷失了这一认知，是因为后来数字八卦被阴阳八卦取代了。《汉书·五行志》载“董仲舒治公羊春秋,始推阴阳”[7]《五行志》，表明是董仲舒（前175—前104年）开始以阴阳结合五行解释灾异的，这是阴阳八卦产生的前提。《汉书·儒林传》载 “喜好自称誉，得易家候阴阳灾变书，诈言师田生且死时枕喜膝，独传喜，诸儒以此耀之。……上闻喜改师法，遂不用喜”、“京房受易梁人焦延寿。延寿云尝从孟喜问易。……房以明灾异得幸，……由是易有京氏之学” [7]《儒林传》，可见应是孟喜（生卒不详）开启了数字八卦向阴阳八卦转化的历程。 在人们彻底忘记数字八卦后，就再也无法理解为什么文字既始于八卦、又始于数字“一”了，于是段玉裁（1735—1815年）就将“惟初太始”改为“惟初太极”[10]1，孙诒让（1848—1908年）在《名原·原始数名弟一》中引用了这一说法并以“盖文字生于形，而书契之作，上原卦画,下代结绳,又以纪数为尤重，合形数以纪物，由一而兹为万”[11]1表达了他所理解的八卦、文字及数字间的关系，“上原卦画”表明他认为文字起源于阴阳八卦。这是文字学家们的普遍认识，除错误理解了八卦与数字的关系外；还忽略了原始数字有比八卦更为深远的源头，因为记录占筮结果是数字的派生用途、而非本义，这从原始数字的构造方式中可以得到验证。 （二）数字的原形 拱玉书等认为“这种原始的数字大多是通过描绘原始记数工具的途径，即后来所谓的象形手段造成的。数原是由万事万物绎出来的抽象概念，但数字本身却是记数工具的具象表达”[8]190,所以确定最原始的记数工具是什么，对探讨原始数字的构造方式、以至于文字的起源都非常重要，许多人认为最原始的记数工具是算筹。但若假定产生原始数字时的计算方法是数数（下文将予以验证），结合产生的结果十进位制来推断，最原始的记数工具应该是手指和人，原因有二： 一是人与手指的干枝关系是形成十进位制的基础。用算筹虽能数出大小，但数至多少形成更大的数量级是不确定的，基数恰好为十是小概率事件；而正常人都有十根手指，以手指和人作算具，基数为十是必然事件。在数十及以内的数时手指与算筹是等价的，用手指方便得多，人们自然是以手指来数数；相反若不立足自身条件而另行引入算筹，容易让受众误会，以为是在表达相应数量的算筹。站着的人，最简形象就是一条短竖线与原始的数字十相符。 二是“近取诸身、远取诸物”是使用象形手段选取原形的方法，因为舍近求远不是一种科学合理的方法，所以一与十的原形应属“取诸身”范畴；运用孙诒让的偏旁比较法对比甲骨文与金文中的百、千、万，它们原形的发展趋势也能体现这一点： 百的原形。对比甲骨文中的百 、和金文中的百、，因金文中数字百的中间部分是“人”字，表明甲骨文中对应的部分也是“人”字，和外面的圆圈一起表示一圈人，属于“取诸身”的方式。百的定义是十个十，由一圈人构造十个十的方法有两种：一是以十人为一组，由十个组组成百；二是因每个人有十根手指而由十个人组成百，因第二种方法简单、自然、可操作性强，所以百的原形应是十个人。 千的原形。甲骨文中的千及金文中的千都是由一个立起来的人字加一条短横线构成，这种人字符合“人首”的特征[12]，所以千字应是用人的头发表示的数量，也属于“取诸身”的范畴。 万的原形。综合甲骨文及金文中的万字字形（图1、图2）[6]144，可认定甲骨文中万的原形是像鹿一类、四蹄带角动物的兽首，顺承定义千的方法以其头部毛发数量表示万；多数金文相对于甲骨文补充了兽的身体和两腿，由甲骨文的头像演化为侧面像，文字学上称这种现象为繁化。《说文解字》释万为“虫也”[13],于是一些字典及数学史书籍中认为万的原形是蝎子，但图1、图2中的一些万字在可能的蝎钳部位是三叉的，足以否定这种说法；还有人将万、虿相提并论，而虿即表示蛇、蝎之类的毒虫，但《说文解字注》对虿的解释有“其字上本不从萬，以苗象其身首之形”[10]1157，表明万、虿本来没关系，《说文解字》对万字的解读应该有问题，万的原形与蝎子没关系。 图1 甲骨文中的万字字形 图2 金文中的万字字形 可见“取诸物”是在“取诸身”无法表达时才使用的手段，所以一与十的原形应是手指和人，虽然这里人在文字上有十字和人字两个像，但它们产生于不同时代、表示不同意义，是合理的。因借以产生百、千、万的事物并未参与记数过程，所以将它们与产生一与十的“原始记数工具”一起统称为数字的原形更合适。 （三）一至九最初的字形结构 史前陶器及甲骨文中一至四的字形结构，被于省吾、孙诒让等人称之为“积画”，就是以相同的笔划逐一叠加的方式造字，于省吾还认为“凡纪数字均可积画为之，但积至四画已觉其繁，势不得不化繁为简”、“我国古文字，当自纪数字开始，纪数字乃古文字中之原始字。纪数字由一至九分为二系而五居其中。由一至四，均为积画，此一系也；由五至九，变积画为错画，此又一系也”[9]97，孙诒让仔细分析了甲骨文及之前的五至九，认为七是“承五而小变之”、九是“承七而小变之”、八是“承六而小变之”，“盖六之与八，七之与九，皆间一数，相对为形”[11]1，说明这五个数字的构造非常规整；同时由两划错画的五至九笔划数少于积画的三和四，与以象形方式造字的逻辑不符，所以错画的五至九应是由积画形式一次性简化而来（注：半坡遗址中五由两划错画而成，甲骨文在上下各加一横，存在繁化情形，甲骨文中也还存在积画的五），这次简化才是“于是始作易八卦”的由来，这也应该是文字的首次简化和派生使用。 （四）原始的计算方法 积画的字形结构蕴含着原始的计算方法，以下两项事实可以证明这一点。一是“由数起”阶段不仅个位数字是积画的，十位数字也是积画的，不过是以短竖线积画的，甲骨文中有这样的十至四十（图3）[6]145，里耶秦简中仍有积画的四十，廿、卅是积画方式的遗存，因一至四、十至四十都是积画的，就从侧面印证了于省吾“凡纪数字均可积画为之”的论断；这种字形上笔划的逐一叠加体现了逐一递增的数数方式，是“形与神俱”的表现，亦即积画的字形结构是人们用数手指和人的个数的方式来计算数量的表现。二是百字的出处为甲骨文、十字的出处为半坡遗址，时间跨度近3000年，即使将数字百的出现时间提前至《汉书·律历志》记载的黄帝时代，时间跨度也非常大，说明“由数起”阶段的计算方法是低级的，它也应该是数数。二者共同印证了李约瑟关于数数、加法及乘法发展规律的论述。“由数起”阶段的记数范围应主要集中于个、十位数，超出时仍用十与一的积画表示，后期应出现过在十个十上加圈的分群计数模式，为数字百的出现准备了条件。 图3 甲骨文中积画的十至四十 （五）文字的两种属性 文字学家们对文字产生前的图形符号称谓很多，如图画、文字画等，其实可以简单地称之为形符，表示它们是形状相对固定的符号，那么形符具备什么样的属性才能演化成文字呢？综合考虑，形符必须具备两种基本属性才能成为文字。一是可读性，即形符首先要完成与语言的结合，有特定读音，具备音、形、意三要素才能成为文字，这时它才脱离图形范畴，结合前，形符只是以形表意、语言只是以音表意。二是公众性，在结合后形符还要被用于公共事务之中，被公众认知和使用才能成为社会治理和公众交流的工具。不可否认，文字的发展有一定自由度，尤其在其起源阶段，人们可以随意创造形符，但要让公众认知和使用就必须经由权威的方式来收集整理、规范发布或率先使用，这是文字由小范围使用向大范围推广的必经程序，在文字发展的关键期更应如此。如计算机信息技术中的GB18030-2005（《信息技术中文编码字符集》）；秦统一时的《仓颉》等，都是以权威的方式规范文字。所以初造书契是必然事件，它是文字的两种属性在刻划记事中结合的开端。 （六）河图所起的作用及其内涵 那么在书契之前文字的这两种属性又是如何发展的呢？笔者认为：可读性首先在积画数字中形成，这由数字的抽象性和重要性决定。抽象性：演化为象形文字并有原形可对照的形符，见到形符就能明白其含义，读音对于表达这类形符不是必需的，所以音与形的结合不会从这类形符开始；数是抽象的，本无原形，为表示数而引入的原形与数本身并非同一概念，必需标识出来，用语音来标识最为方便，这样就形成了有读音的数字。重要性：人们在进行物质分配与交换时，首先需要度量物质的大小多少，这时就必须用到数的概念，由于人类最初的社会交往都是基于物质分配和交换的，所以数是人类社会交往的基石，记数法也就成为人类社会的第一标准，这从当今世界语言、文字远未统一，而十进位制却早已普及得到验证，这也是数字先于其它文字产生的原因。 公众性首先是以河图来实现的。虽然已经有了刻划数字，但在青铜器普及前，刻划数字不能大范围传播并用于公众交流和社会治理之中，而社会的发展又急需将数的概念用于公众交流及社会治理中，于是就出现了结绳记事，“及神农氏结绳为治而统其事”说明结绳记事从诞生开始就担负了“统”与“治”的功能，即公众性，但结绳记事也需要标准和规范，河图就是作为标准或规范出现的，它与GB18030-2005、《仓颉》类似，它出现的目的是为了让公众认知和使用一至十、以及数数的计算方法。但由于结绳记事的优势非常片面，刻划数字必然伴随河图传播，河图的出现会促使刻划记事的使用范围扩大、形符的数量增多，这为十进位制及文字的进一步发展奠定了基础。所以河图的内涵只是一至十的顺序排列，其中的数无组合关系，朱熹、蔡元定认为河图为“天地之数”的结论是正确的。 四、“大备”阶段，数的发展状况及洛书的内涵 （一）“大备”阶段，数的发展状况 对于数在“大备”阶段的发展，《世本》载有黄帝的史官“隶首作数”[14]。《河图、洛书的传承途径考》证明《汉书·五行志》中刘歆（前50—23年）对河图、洛书的解读似是而非，因为他解读的主要成份：八卦与河图、洛书与《洪范》的关系有假，但有一定真实成份，如河图、八卦都在一至十的范围内，洛书与《洪范》都与一至九相关，人们也基本认可洛书出自大禹时代，这个时代属于数的“大备”阶段。笔者认为隶首创造了数字“百”，洛书是伴随着数字“千”产生的。理由是： 习惯。到百这一数量级时，逐一计数和分群计数仍能满足记数需求，但已经很吃力了；到千时这种方式所存在的费时、易错等弊病则表现得非常突出，到了不得不改变的程度。 数字百出现后，才具备使用进位规则的条件。在文字学上，积画的个位数字是算具的简单象形，积画的十位数字与算具间既有象形成份，也有象意成份，而原始的数字百却是纯粹的象意文字，定义数字百时人们才走出以象形方式造字的思维局限，为定义千和万准备了条件（注：这里用唐兰的三书体系，即象形、象意与形声表述文字的基本构造方式）。在数学上，伴随数字百才产生数位（以下简称位）概念和递推思想，原始的十与一间是自然的干支关系而不具备位的思想；数字百“十个十”的定义才确立十的基数地位、形成位的概念，甲骨文中位和值是写在一起的，如图1中的30000由万与三合成，文字学上称这种现象为“合书”，唐兰认为合书是形成形声字的基础[15]，位间用有、又连接，这是位值制的雏形，经过漫长的多次变革才形成今天的位值制。递推是位间关系的纽带，表现在数名定义上，千的定义十百，万的定义十千，都是从百的定义十十递推而来。可见数字百承前启后，有了它才可能产生进位思想和进位规则。 （二）洛书的内涵 在正确解读出洛书中数的组合关系后，将其与加法进位规则集比较可知，洛书中数的组合是原初形态的加法进位规则集，洛书确为具有“大衍”功能的“大衍之数”。 1.洛书中数的组合关系 据太乙九宫占盘天盘中“君”与“百姓”、“将”与“相”的组合关系[16]得到其中的数字组合关系应是1+9、2+8、3+7、4+6。对此彝古文《青线、红线与二十四节气》中关于洛书的描述“天一与天九,在宇宙的南、北两方，管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为老阳。天三与天七,在宇宙的东、西两方,管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为少阳。地二与地八，在宇宙的东北、西南两方，管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为老阴。地四与地六,在宇宙的西北、东南两方,管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为少阴。天五生成宇宙,管理着中央，两个五加起来也是十，福禄不断洒满宇宙之间”[17]加以印证并补充了5+5，所以洛书是用相对表示相加，五与自身相对故只出现了一次，其中数的组合关系为1+9、2+8、3+7、4+6、5+5；它们的和为五十，与“大衍之数”的值相同。 2.洛书中数的组合与加法进位规则集的对比 对于这种组合的功能，《珠算教程》给出了两种常用的珠算加减法：传统口诀式加减法和凑五补十加减法。凑五补十加减法中的进位规则为补十规则，即1+9、2+8、3+7、4+6、5+5与洛书一致。口诀式加减法中的进位规则有进十加口诀及破五进十加口诀：进十加口诀因区分加数和被加数的位置而由洛书的五条扩展为九条，5+5与“五去五进一”对应，余下四条分别对应“进十加”口诀中的两条，如1+9对应“一去九进一”和“九去一进一”；破五进十加口诀是因为算盘用梁上的一个算珠表示数量五而对进十加口诀作出变通生成的新规则[18]，李约瑟据《孙子算经》及《夏候阳算经》证明算筹中已经使用了以一代五的方式[4]4，可见以一代五方式很早就出现了。 也有不使用以一代五方式的加法进位规则。《中国数字史大系》中有一个例子：羌族老人用黄豆、玉米、大白豆、洋芋数量分别表示个、十、百、千位上的数量做加法，被加数是3456，加数是2138，把代表相同位的东西放在一起数数量，因只有黄豆数量超过10，他就用一颗玉米换出十颗黄豆，得到结果5594[6]140，这里不考虑加数与被加数位置关系也不使用以一代五方式，选取黄豆的数组合是洛书的组合之一，进位规则与洛书处于同一发展水平。 综上，洛书中数的组合与羌族老人使用的进位规则一致，是原初形态的加法进位规则集，之后的进位规则集，因算具出现了以一代五方式、并区分加数和被加数的位置关系而有所发展，但实质仍然是洛书中的数组合，它们就是正整数范围内“满十进一”的十进制规则的全集，为突显其功用和产生时间而称其为加法进位规则集，这就是洛书的内涵。进位规则是处理两数相加有进位时的位间关系的，并不处理没有进位及进位后余下的数，珠算中用口诀“一上一、二上二、…………九上九”来处理，这是河图对应的数数方式。所以洛书的出现才标志着加法的产生，加法相对于数数在便捷性、运算速度及记数范围上都有质的飞跃，洛书确是具有“大衍”功能的“大衍之数”。 3.“其用四十有九”的含义 对此，《汉书·律历志》还有如下记载： 其数以易大衍之数五十，其用四十九，成阳六爻，得周流六虚之象也。夫推历生律制器，规圆矩方，权重衡平，准绳嘉量，探赜索隐，钩深至远，莫不用焉。度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍累。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术。 “大于千，衍于万，其法在算术”印证了上文的部分论断，据此还可以推断出“其用四十有九”的含义应是“洛出书”之后一段时间内记数范围止于万位，这时做加法，个、十、百、千位考虑进位各用十个算具，万位不进位故只需九个算具。《汉书·律历志》还载有刘歆对“大衍之数”的解读“是故元始有象一也；春秋二也；三统三也；四时四也；合而为十，成五体。以五乘十，大衍之数也。而道据其一，其余四十九，所当用也，故蓍以为数” [7]《律历志》，这也是一种真假参半的刻意曲解。另《后汉书·律历志》载有“其后刘歆研机极深，验之春秋，参以易道，以河图帝览嬉、洛书乾曜度推广九道”[19]，证明刘歆针对河图、洛书有一系列精心策划的造假行为，这是产生河图、洛书真实性问题的根本原因。 五、结语 综上，河图、洛书分别是《易·系辞》中的“天地之数”和“大衍之数”。河图的内涵是一至十的顺序排列，洛书的内涵是加法进位规则集，二者承载了正整数从一至万、计算方法从数数到加法的发展历程，这样就确切展示出河图、洛书最为基础与核心的内涵，证明河图、洛书不是神话和传说，而是具有深厚科学内涵的文明成果。河图、洛书的伟大在于其基础性和根源性，大道至简、人类最伟大的发明就是数的发明，八卦与河图是文字和数学的双源头，洛书的出现标志着人类文明走出了原始状态，八卦与河图、洛书承载了中华文明最为艰难的起源过程。厘清刘歆针对河图、洛书的造假行为，也为全面破解刘歆文献造假问题提供了切入点。 全面梳理人类文明起源和传播过程，或许还能证明八卦与河图、洛书为人类文明的总根源。在埃及学、亚述学类著作中有数的其他起源，但这类学说只有两百年左右，故这类著作很晚产生，这些起源途径来历虚幻，可能是臆造的。“公元595年，印度发明了十进制”[20]（注：应为十进位制），表明西方学者认为十进位制源自印度。“820年，阿拉伯阿尔·花剌子模发表了《印度计数算法》，使西欧熟悉了十进位制”[21]，十进位制经印度、阿拉伯世界传入西方众所周知。计算机技术中使用二、八及十六进位制，但用0和1表示的二进位制1679年才产生。有0才有进位制理论，罗素在《数理哲学导论》中称“说到0，这是更加晚近加入的，希腊人和罗马人没有这个数字”[22]，有人认为0基于道教的“虚”产生于中国，但佛教有类似的“空”，目前0产生于印度的证据较充分，0用有形的符号表示无形的空位，它的形成是人类抽象思维的又一次大跨越，当产生于位和进位概念之后，且印度数字没有积画特征故不是最原始的数字，印度记数法应是在河图、洛书基础上进一步发展的。可见早期记数方法还有许多值得深入研究的地方，深入研究应能准确、快捷地找到早期文明的真实传播轨迹，区分真、假早期文明史，或许还能证明八卦与河图、洛书为人类文明的总根源。 |
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