2021届中考三角函数知识点、考点总结，解直角三角形综合运用

一、三角函数的定义：

1. 定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比、∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也是分别确定的；我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，统称为∠A的三角函数.

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）正弦：

（2）余弦：

（3）正切：

温馨提示：（1）正弦、余弦、正切都是两条线段的比值，没有单位；

（2）函数值大小只与角的大小有关，与边的长短和直角三角形的位置无关；

（3）sinA是一个整体符号，即表示∠A的正弦；当锐角是用一个字母或一个希腊字母表示时，通常省去“∠”符号，但不能写成sin·A；当锐角用三个字母表示时，则不能省去“∠”符号，如sin∠BAC不能写成sin BAC.

二、特殊角的三角函数值

1.根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质,可得到30°,45°,60°

角的三角函数值,列表如下:

2.30°,45°,60°角的三角函数值的记忆方法

（1）图形记忆法:如图所示，由三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值.

（2）增减规律记忆法：①sinA的值随A的增大而增大，依次为1/2、√2/2、√3/2.

②cosA的值随A的值增大而减小，依次为√3/2、√2/2、1/2.

③tanA的值随A的值增大而增大，依次为√3/3、1、√3. 

三、锐角三角函数的性质

1.自变量和函数值的取值范围：

当0°<A<90°时，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.

2.三角函数常用的推导公式：

①sinA=cos(90°-A)

②sin²A+cos²A=1；sin²A+sin²(90°-A）=1

③

④tanA·tan(90°-A)=1

3.求三角函数值的方法：

（1）根据特殊角的三角函数求值；

（2）借助边的数量关系求值；

（3）借助等角求值；

（4）根据三角函数关系求值；

（5）构造直角三角形求函数值.

四、解直角三角形

1.解直角三角形的概念：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2.直角三角形的边角关系：

（1）三边之间的关系：a²+b²=c²；

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=∠C=90°；

（3）边角之间的关系:

3.解直角三角形的五种类型

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.

#锐角三角函数#

五、三角函数的应用

1.解直角三角形在几何图形中的应用

（1）一般三角形问题：通过作高把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形求解；

（2）平行四边形与梯形问题：通过作高把平行四边形或梯形转化为含有直角三角形的图形求解

（3）矩形、菱形与正方形问题：通过连接对角线把矩形、菱形或正方形转化为含有直角三角形的图形求解

2.解直角三角形与圆在实际问题中的综合运用

　（1）利用切线和连接切点与圆心的半径构造直角三角形；

（2）利用圆的弦与垂直于弦的半径构造直角三角形.

3.解直角三角形的应用——仰角、俯角问题

　　如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.

4. 解直角三角形的应用——方向角问题

　　如图，过观测点O作一条水平线(一般向右为东)和一条铅垂线(一般向上为北),则观测点O与目的地的连线与表示南北方向的铅垂线的夹角叫做方向角.

4.坡度问题

坡角：坡面与水平面的夹角记做α，称为坡角.

坡度：坡面的垂直高度h与水平宽度l的比称为坡度.坡度常用字母表示为i=h：l=tanα.