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广东 杨俊 陕西 魏拴文 河北唐山 齐建民 湖南郴州 袁旭华 湖南永州 唐 佳 提供解法 湖北省阳新县高级中学 邹生书 编辑整理 解法1：换元后转化为二次函数求最值 杨 俊 提供 解法3 余弦定理+二次函数求最值 魏拴文 提供
如图，设∠ONP=θ,连接OP. 在△PMN中，由余弦定理得， PM2=NM2+NP2-2NM·NPcosθ, 即PM2=9+NP2-6NPcosθ ① 在△PON中，由余弦定理得， OP2=NO2+NP2-2NO·NPcosθ, 即1=4+NP2-4NPcosθ, 得NPcosθ= 1/4NP2=9+3/4 代入①式整理得 PM2=9/2-1/2NP2, 所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2 =-1/2(PN-1)2+5≤5, 1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。 故PM2+PN的最大值为5. 解法4 勾股定理+三角形中线公式求解 齐建民 提供 因为MA为圆的直径，所以∠APM=90°， 所以PM2=MA2-PA2=4-PA2, ① 又PA是△PNO的中线，由三角形中线长公式得 PN2+PO2=2(PA2+OA2), 则PN2 =2PA2+1 ② ①×2+②得，2PM2+PN2=9, 所以PM2=9/2-1/2NP2, 所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2 =-1/2(PN-1)2+5≤5, 1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。 故PM2+PN的最大值为5. 解法5 阿氏圆定义+三角形中线公式求解 袁旭华 提供 如图，连接PO,PA,取OA中点Q，连接PQ. 依题意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圆的直径， 由阿氏圆的定义得PN=2PQ. 在△PAO中，因为PQ是中线， 所以由三角形中线长公式得 PA2+PO2=2(PQ2+OQ2), 则PA2 =2PQ2-1/2, 因为MA为圆的直径，所以∠APM=90°， 所以PM2=MA2-PA2=4-PA2, 所以PM2+PN=PM2+2PQ =-2PQ2+2PQ+9/2 =-2(PQ-1/2)2+5≤5, 因为1=AN≤PN≤MN=3, PN=2PQ， 所以1/2≤PQ≤3/2, 所以当PQ=1/2时，等号成立。 故PM2+PN的最大值为5. 解法6 阿氏圆+外角平分线长求解 唐佳 提供 如图，连接PO,PA,取OA中点Q，连接PQ. 依题意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圆的直径， 由阿氏圆的定义知PM是△PNQ的外角平分线， 由外角平分线长定理得 PM2=MQ·MN-PN·PQ=9/2-1/2NP2, 所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2 =-1/2(PN-1)2+5≤5, 1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。 故PM2+PN的最大值为5. 解法7 用斯特瓦尔特（Stewart）定理一步到位求解 唐佳 提供 斯特瓦尔特（Stewart）定理： 设D是△ABC底边上BC一点，则有 AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=DC·DB·BC。 斯特瓦尔特（Stewart）定理，常见的用于得到线段倍份关系、用于求解三角形问题。 如图，连接PO。在△PMN中，用斯特瓦尔特（Stewart）定理得 PM²·ON+PN²·OM-PO²·MN=OM·ON·MN, 即2PM²+PN²-3=6, 所以PM2=9/2-1/2NP2, 所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2 =-1/2(PN-1)2+5≤5, 1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。 故PM2+PN的最大值为5. |
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