数据集中趋势的几个度量指标

众数

众数，就是在一堆数据中出现次数最多的那个数，非常好理解。它主要是用来衡量分类数据的集中趋势的。

举例：

随机调查了10个人的月收入状况，具体数据如下：

2000 3000 2000 4500 5000 3000 2500 3000 6000 3000

那么月收入的众数是多少？

显然，在上面10个数中，出现次数最多的是3000，共出现4次。因此，月收入的众数就是3000.

中位数和分位数

首先要说明的是，中位数和分位数都是用来测度带顺序的数据的。

1.中位数

顾名思义，中位数，就是将数据从小到大排列后，处在中间位置上的那个数。

也就是说，中位数将所有的数据分为两部分，一部分都比中位数大，另一部分都比中位数小；而且这两部分的数据个数各占50%。

那中位数的位置该如何确定呢？

需要用到这个公式：(n+1)/2

这里的n就是数据的个数。

举例：

1,3,5,7,9 这5个数的中位数的位置在哪里？

运用上面的公式，将n=5代入，可得

(5+1)/2=3

也就是说，中位数的位置在第3个数上，也就是数字5.

上面的例子是奇数个数据，假如是偶数个呢？我们再看下面这个例子：

2,4,6,8 这4个数的中位数位置在哪里？

同样，将n=4代入公式，可得

(4+1)/2=2.5

也就是说，中位数在第2个数和第3个数之间的中心位置。

中位数的位置确定好以后，下一步就是要确定中位数的具体数值了。

假设我们有以下数据：x(1),x(2),···x(n)，那么这n个数的中位数是多少呢？

根据上面的经验，我们也分为2种情况来讨论：

当n是奇数时，那么中位数为

x[(n+1)/2]

当n是偶数时，那么中位数为

[x(n/2)+x(n/2+1)]/2

感兴趣的同学可以自己将公式代入，这里我们不再举例。

2.四分位数

四分位数，是指将数据按顺序从小到大排列后，处在第25%的位置（下四分位数）和第75%的位置（上四分位数）的值。

和中位数不同的地方是，四分位数确定位置的方法有很多种，我们这里只列出了一种方法。

下四分位数的位置确定公式为n/4；上四分位数的位置公式为3n/4。

在具体计算数值时，可以根据位置的比例来计算对应的四分位数。

我们还拿之前的月收入数据举例，只不过这里只取了9个值，如下：

2000 2000 2500 3000 3000 3000 3000 4500 5000

先来计算下四分位数，一共有9个数，因此代入公式，可得

9/4=2.25

因此，下四分位数是在第2个数和第3个数之间0.25的位置上。计算得到下四分位数为

2000+(2500-2000)*0.25=2125

同理，上四分位数的位置为

3*9/4=6.75

因此，上四分位数的值为

3000+(3000-3000)*0.75=3000

平均数

别看平均数很简单，其实它也有很多种形式。

1.简单平均数

当我们计算未分组数据的平均数时，可将其称为简单平均数。

假设我们有n个数据，分别为x(1),x(2),···x(n)，那么平均数的计算公式为

2.加权平均数

当我们计算带有分组数据的平均数时，此时可称作加权平均数。

假设我们有m组数据，每组数据的值（组中值，可通过计算得出）x(1),x(2),···,x(m)对应的权重分别为k(1),k(2),···,k(m)，则加权平均数的公式为：

这里的k就是加权平均数中“权”的含义了。

3.几何平均数

几何平均数主要用来计算平均比率，如平均增长率，平均收益率等等。它的公式如下：

也就是说，几何平均数就是n个样本的乘积再开n次方根的结果。

这里就不再举例，大家感兴趣的话可以找些数据自己来试试。

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这就是今天的几个集中趋势的度量指标，你都理解了吗？别忘了点赞关注哦！