【原】改变世界的方程之纳维尔－斯托克斯方程，堪称最难的物理学方程

粘度为μ，密度为ρ的不可压缩牛顿流体，受静水压力p和加速度g的作用，其运动可以描述为满足纳维尔（叶）－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的速度矢量场V：

• 我们用复数形式来表示这一个方程，因为它以向量的形式表示了三个方程

这些方程式是以克劳德-路易·纳维尔和乔治·斯托克斯爵士的名字命名的。

纳维尔-斯托克斯方程方程是一个微分方程，它对空间中每一点的无限小流体的速度V施加规则。结果可以解释为浸没在流体中的测试粒子的运动或流体本身的运动。

假设V的x，y，z分量分别为u，v，w。单位向量在x，y和z方向将被写成x，y和z。

如果你上过一些基础的物理或微积分课程，你可能会认识∇算子，并理解标量函数的拉普拉斯函数∇²f和向量函数的散度∇⋅F 。在纳维尔-斯托克斯方程中有两个向量微分算子，你们可能不熟悉。第一个是矢量拉普拉斯运算符∇²V，第二个是运算符 (V⋅∇)V。幸运的是，我们很容易理解这些运算符的含义。拉普拉斯向量对向量函数的每个标量分量应用拉普拉斯算子：

流体的基本物理学

变形是使一个物质体的所有组成粒子发生位移的过程。这里，我们感兴趣的是连续变形。在这种变形中，物质体不会被分离成不相交的部分。在这种变形之前，粒子之间的距离是无穷小的，在变形之后，粒子之间的距离仍然是无穷小的。

物体的变形是由表面的应力引起的，表面应力有两种类型。正应力的方向垂直于表面，剪应力的方向平行于表面。应力等于力除以面积。

流体被定义为不能抵抗剪应力的物质体。只要对某一流体体施加剪应力，该流体就会不断地变形。这就引出了流体的流行定义，即流体总是以其容器的形状存在。牛顿体是一种变形的变化率与应力成线性关系的流体。

在上面的例子中，“容器”只是一个平坦的表面，水体开始是一个立方体。由于重力，在顶部和底部存在法向应力，还有来自台面的法向力和由重力引起的侧面剪应力。流体无法抵抗剪应力，因此为了达到平衡，它将通过使其侧边尽可能小来消除剪应力。液体会在平面上散开，呈现出与它的“容器”相同的形状。表面张力最终会占主导地位，阻止液体自身无限扩散。唯一剩下的应力将是由于顶部重力和底部法向力而产生的法向应力，当流体处于平衡状态时，法向力会相互抵消。

现在让我们考虑一个面垂直于轴线的流体的立方体。应力分量Pᵢⱼ是垂直于i∊{x,y,z}面，在j∊{x,y,z}方向上的应力，如果它指向+j方向，则为正。例如，Pₓₓ是在x方向上垂直于x面上的应力。假设Pᵢⱼ在一个流体正方体的表面上是恒定的。

Pᵢⱼ可以排列成一个数组，称为应力二元数组：

因此，牛顿体的定义可以理解为，变形的变化率用并矢E表示，称为应变速率并矢，与P有关，用P=aE+bI表示，其中a和b为常数，I为单位并矢：

我们将在推导部分精确地确定E。

ρ的密度是一个无限小的流体团的质量。不可压缩流体是密度在空间和时间上都是恒定的流体。当流体速度小于流体中音速的30%时，不可压缩性是液体和气体的精确近似。由于在液体中很难达到如此高的速度，对可压缩流动的研究主要与气体有关。

• 流体中的声速是马赫数1

“不可压缩流体（incompressible fluid）”和“不可压缩流（incompressible flow）”这两个术语有不同的含义。不可压缩流体是不能被强迫改变其密度的流体，而不可压缩流是流体密度不变的流体。虽然所有涉及不可压缩流体的流动都是不可压缩的，在适当的条件下，不可压缩流动可以准确地描述可压缩流体的流动。这是有道理的，因为在现实中，所有的流体都是可压缩的。

粘度μ测量流体的抗变形能力。对于μ较高的流体，与μ较低的流体相比，需要更大的应力才能在相同的时间内产生相同的变形。例如，当水倒在一个表面上时，它会很快扩散，但同样体积的焦油要花很长时间才能覆盖同样的面积。

纳维尔-斯托克斯方程中的最后一项是静水压力p。根据定义，流体在封闭表面上的静水压力是该表面上法向应力的平均值。当流体压缩正方体时，流体静压被定义为正。由于正方体表面的Pᵢⱼ是恒定的，故正方体上的静水压力为：

流体服从连续性方程：

V的散度告诉我们流入或流出每个点的流体的净流量，当有净流出时是正的，连续性方程说的是某一点流体质量的变化率等于流体流入这一点的速率。不可压缩流无散度是因为∂ρ/∂t=0。

题外话：张量

并矢是属于一类被称为张量的“东西”。张量编码了几何关系，可以认为与向量相似，但更一般。例如，位置矢量是一个张量，它告诉你一个点相对于原点的位置。向量积A✕B是一个张量，它告诉你包含向量A和B的平面的法向量。

P和E张量的精确几何性质在这篇文章中我们不需要知道。这个题外话的目的是解释如何用并矢来求向量的点积。

作为助记符，我们可以考虑以以下形式扩展并矢：

物体xx, xy等等，可以认为是单位向量的乘积。每个因子都遵循单位向量点积的规则，但是它们是不可交换的。如：x⋅xz=（x⋅x）z=z，但xz⋅x=x(z⋅x)=0，因此：

推导纳维尔-斯托克斯方程

对于一个无限小的流体，我们从牛顿第二定律F=ρa开始，我们先写下加速度。

设u=f（x，y，z，t）为浸没在流体中的测试粒子沿着路径（x（t）， y（t）， z（t））时速度的x分量。假设速度在 Δt内从u变化为u+Δu。然后u +Δu = f （x +Δx， y +Δy，z +Δz，t +Δt）。对点（x₀，y₀，z₀）在时间t₀处，作线性逼近：

• 下标0表示在（x₀，y₀，z₀，t₀）处求值

把u代回f，并从两边约掉u₀，然后除以 Δt：

取极限为 Δt→0，回想一下u=dx/dt，v=dy/dy，w=dz/dt，v= (ux+vy+wz)，那么下面的结论在任何地方都成立：

对速度的其他分量做同样的处理，我们发现：

这给了我们牛顿定律方程的一边。现在我们需要找出力。

作用于流体的力有两种，体力和面力（表明力）。体力直接作用于液体中的每个粒子。在实际中，体力几乎都是引力，所以总体力为：

面力与流体表面相互作用。根据定义，总面力为应力张量的表面积分：

幸运的是，高斯散度定理仍然适用于并矢，所以：

因此：

通过消去积分，我们得到柯西运动方程：

现在我们需要计算 ∇⋅P。回想一下，P=aE+bI，其中a和b是常数。斯托克斯通过实验发现a=2μ。现在我们需要找到应变速率并矢。

我们以流体团的运动有三个分量这一经验事实开始我们的研究：

1. 一个平移分量，表示流团从一点移动到另一点；
2. 一个表示流团刚性旋转的分量；
3. 变形分量表示流团中两个测试粒子的相对运动。

考虑测试粒子的速度V（x，y，z），在（x，y，z）点靠近一个位于（x₀，y₀，z₀）处且具有速度V₀的粒子。我们将V（x，y，z）的分量表示成（x₀，y₀，z₀）附近的线性近似。

通过加减相同的导数，我们把它们展开成更有用的形式：

通过重新排列，我们发现：

v和w也一样：

如果我们赋值如下，我们可以把它写成简化的向量形式：

然后我们发现：

第一项是常量，所以它表示平移。第二项的叉乘和ω向量的形式表明第二项是旋转部分。这意味着最后一部分一定是变形部分，它告诉我们位于r处的粒子相对于r₀，因包含r和r₀的流体包的变形所引起的位置的变化率。因此，我们可以用应变率并矢来识别A：

剩下的就是求b的值了。虽然并矢矩阵并不是真正的矩阵，但我们可以暂时假设它们是矩阵，并对P=2μE+bI的两边进行求迹：

不可压缩流体不发散，所以b=-p。因此， P=2μE-pI。现在我们可以根据柯西方程计算∇⋅P 。利用前一节的程序计算并矢与向量的点积，我们发现 ∇⋅P=μ∇²V-∇p。现在我们通过把所有东西代回柯西方程得到纳维尔-斯托克斯方程：